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多元线性回归
多元线性回归是简单线性回归的直接推广,其包含一个因变量和二个或二个以上的自变量。
简单线性回归是研究一个因变量(Y)和一个自变量(X)之间数量上相互依存的线性关系。而多元线性回归是研究一个因变量(Y)和多个自变量(Xi)之间数量上相互依存的线性关系。
简单线性回归的大部分内容可用于多元回归,因其基本概念是一样的。
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内容安排
多元线性回归模型与参数估计
回归方程和偏回归系数的假设检验
标准化偏回归系数和确定系数
多元回归分析中的若干问题
回归分析中自变量的选择
多元线性回归分析的作用
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多元线性回归模型与参数估计
设有自变量x1,x2,…,xp和因变量Y以及一份由n个个体构成的随机样本(x1i,x2i,…,xpi,,,Yi),且有如下关系:
y=B0+B1x1+B2x2+…+Bpxp+(模型)
B0、B1、B2和Bp为待估参数,为残差。
由一组样本数据,可求出等估参数的估计值b0、b1、b2和bp,,得到如下回归方程:
ŷi=b0+b1x1+b2x2+…+bpxp
由此可见,建立回归方程的过程就是对回归模型中的参数(常数项和偏回归系数)进行估计的过程。
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回归方程和偏回归系数的假设检验
回归方程的假设检验:
建立回归方程后,须分析应变量Y与这p个自变量之间是否确有线性回归关系,可用F分析。
H0:B1=B2=….=Bp=0
H1:H0不正确=
F=MS回归/MS误差
MS回归=SS回归/pSS回归=bjLjy(j=1,2….,P)
MS误差=SS误差/(n-p-1)SS误差为残差平方和
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标准化偏回归系数和确定系数
标准化偏回归系数:
在比较各自变量对应变量相对贡献大小时,由于各自变量的单位不同,不能直接用偏回归系数的大小作比较,须用标准化偏回归系数。
bj´=bj(sj/sy)
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回归分析中的若干问题
资料要求:总体服从多元正态分布。但实际工作中分类变量也做分析。
n足够大,至少应是自变量个数的5倍
分类变量在回归分析中的处理方法
有序分类:
治疗效果:x=0(无效)x=1(有效)x=2(控制)
无序分类:
有k类,则用k-1变量(伪变量)
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多元线性回归方程的评价
评价回归方程的优劣、好坏可用确定系数R2和剩余标准差Sy,x1,2..p。
Sy,x1,=SQRT(SS误差/n-p-1)
如用于预测,重要的是组外回代结果。
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选择变量的统计学标准
R2最大
R2=SS回归/SS总
adjR2最大:
adjR2=1-MS误差/MS总
Cp值最小
Cp=(n-p-1)(-1)+(p+1)
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向前引入法(forwardselection)
自变量由少到多一个一个引入回归方程。将corr(y,xj)最大而又能拒绝H0者,最先引入方程,余此类推。至不能再拒绝H0为止。
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