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无论在哪本教材中,三角函数诱导公式这一节所波及到的公式都是相称得多。在许多参照书里共同提到了记忆诱导公式的统一口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。多少年来,参照书这样写,教师们这样教,但是教材却从没有简化,因素何在?
 
本文一方面对该口诀进行必要的简介,然后尝试去探寻众多诱导公式的联系及内涵,进而对教材内容的编排提出自己的理解。
 
一、口诀解析
 
任意一种角都可以表达为的形式。当把任意角化为该形式后,运用口诀“奇变偶不变,符号看象限”,就能把任意角转化到之间,即初中所学,学生熟悉的锐角三角函数值问题了。
 
下面对该口诀进行必要的解析:
 
①“奇”与“偶”:是指把任意角化为的形式中的奇偶性,即是奇数还是偶数;
 
②“变”与“不变”:是指三角函数的名称变化与否,即若变,则正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切。
 
综合①②,“奇变偶不变”是说,把任意角化为的形式后,若是奇数则三角函数名称变化,若是偶数则三角函数名称不变化。
 
③“象限”:是指把任意角化为的形式后,假设时,所在的象限。
 
④“符号”:是指在拟定所在的象限后,相应的原三角函数值的符号(如下图)。
 
二、诱导公式的内在联系
 
教材中所给的诱导公式,集中体现了数学中的化归与转化思想。在求任意角的三角函数值时,其基本思路为:负角正角内的角内的角。
 
根据这个思路,运用口诀“奇变偶不变,符号看象限”化简,就不也许充足地体现出来,并且在口诀中,任意角所在象限的判断也是相称麻烦的。
 
下面,针对教材中所给的三角函数诱导公式及化归与转化思路,将它们划分为三类诱导公式。
 
①名不变,奇偶(繁角简角)
 
如果任意角可以表达到,即具有的整数倍,则选用第一类诱导公式。运用该公式可将繁杂角化为简朴的角。
 
第一类诱导公式:正弦函数、余弦函数的名称不变化,化简后的符号随的奇偶性而变化──奇数、偶数。即
,;
可得:.
 
②名变化,正余(钝角锐角)
 
运用其他诱导公式先化简,若浮现的形式,即具有,则选用第二类诱导公式。该公式是开篇口诀的特例。
 
第二类诱导公式:正弦函数、余弦函数的名称变化,化简后的符号由原式三角函数名拟定──正弦、余弦。即
;
可得:.
 
③奇偶性,正奇余偶(负角正角)
 
对于函数,若函数为奇函数,则;若函数为偶函数,则。
 
第三类诱导公式:正弦函数为奇函数;余弦函数为偶函数。即
;
可得:.
 
综上所述,三角函数诱导公式只需要三类即可将负角正角内的角内的角。即
第一类:,;
第二类:;
第三类:.
 
三、三类诱导公式的简朴运用
 
诱导公式一:
 
解析 将正切化为弦,即。运用第一类诱导公式,名不变,由于的系数是偶数,为正,因此.
 
诱导公式二:
 
解析 第一类诱导公式,名不变,由于的系数是奇数,为负,因此
 
诱导公式四:
 
解析 将减法变为加法,即。运用第一类诱导公式,名不变,由于的系数是奇数,为负,因此;运用第三类诱导公式,由于余弦函数为偶函数,因此.
 
诱导公式五:
 
解析 将减法变为加法,即。运用第二类诱导公式,名变化,正弦,因此;运用第三类诱导公式,由于余弦函数是偶函数,因此.
 
例:化简。
 
解析 ,一方面运用第一类诱导公式,名不变,又由于的系数是奇数,符号为负,因此;然后运用第二类诱导公式,名变化,余弦,因此.
 
注意:在应用三类诱导公式时,必须抓住①第一类诱导公式:任意角能分离出的整数倍;②第二类诱导公式:任意角能分离出;③与也是选择诱导公式的根据