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数学参照答案
一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分.
1.{1} 3. 6. 7.(2),(4)
8. 10. 11.
12. 13.
二、解答题:本大题共6小题,共90分.
15.(本题满分14分)
解:(1)由|a-b|=2,得|a-b|a2a·bba·b,∴a·b.……………7分
(2)|a+b|aa·bb,∴|a+b|.………………………14分
16.(本题满分14分)
证明:(1)设AC∩BD=G,连接FG.
由四边形ABCD为平行四边形,得G是AC的中点.
又∵F是EC中点,∴在△ACE中,FG∥AE.……………………………………………3分
∵AE平面BFD,FG⊂平面BFD,∴AE∥平面BFD;……………………………6分
(2)∵,∴.
又∵直线BC⊥平面ABE,∴.
又,∴直线平面.…………………………………………8分
由(1)知,FG∥AE,∴直线平面.………………………………………10分
又直线平面DBF,∴平面DBF⊥平面BCE.………………………………………14分
17.(本题满分15分)
解:(1)由条件,得,.……………………………………………………………2分
∵,∴.……………………………………………………………………4分
∴曲线段FBC的解析式为.
当x=0时,.又CD=,∴.……………7分
(2)由(1),可知.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点P在弧DE上,故.……………8分
设,,“矩形草坪”的面积为
=.…………………………………13分
∵,故获得最大值.………………………15分
18.(本题满分15分)
解:(1)由已知,,直线.
设N(8,t)(t>0),由于AM=MN,因此M(4,).
由M在椭圆上,得t=(4,3).………………………4分
因此,.
.……………………………………7分
(用余弦定理也可求得)
(2)设圆的方程为,将A,F,N三点坐标代入,得
∵圆方程为,令,得.…11分
设,则.
由线段PQ的中点坐标为(0,9),得,.
此时所求圆的方程为.………………………………………15分
(本题用韦达定理也可解)
(2)(法二)由圆过点A、F得圆心横坐标为-1,由圆与y轴交点的纵坐标为(0,9),
得圆心的纵坐标为9,故圆心坐标为(-1,9).……………………………………11分
易求得圆的半径为,………………………………………………………………13分
因此,所求圆的方程为.………………………………………15分
19.(本题满分16分)
解:(1)∵的图象与的图象有关y轴对称,
∴的图象上任意一点有关轴对称的对称点在的图象上.
当时,,则.………………………2分
∵为上的奇函数,则.…………………………………………4分
当时,,.…………………………6分
∴…………………………………………………7分
(1)由已知,.
①若在恒成立,则.
此时,,在上单调递减,,
∴的值域为与矛盾.……………………………………11分
②当时,令,
∴当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
∴.
由,得.……………………………………15分
综上所述,实数的取值范畴为.……………………………………………16分
20.(本题满分16分)
解:(1)①不妨设≥1,设数列有n项在1和100之间,则
≤,≤100.
两边同取对数,得(n-1)(lg3-lg2)≤,得n≤.
故n的最大值为12,即数列中,最多有12项在1和100之间.……………5分
②不妨设1≤…≤100,其中,,,…,均为整数,≤100,因此n≤5.………8分
又由于16,24,36,54,81是满足题设规定的5项.
因此,当q=时,最多有5项是1和100之间的整数.…………………………10分
(2)设等比数列满足100≤aaq…≤1000,
其中a,aq,…,均为整数,,显然,q必为有理数.…………11分
设q=,t>s≥1,t与s互质,
由于=为整数,因此a是的倍数.………………………………12分
令t=s+1,于是数列满足100≤a<a·<…<a·≤100.
如果s≥3,则1000≥a·≥(q+1)n-1≥4n-1,因此n≤5.
如果s=1,则1000≥a·≥100·,因此,n≤4.
如果s=2,则1000≥a·≥100·,因此n≤6.……………………………13分
另一方面,数列128,192,288,432,648,972满足题设条件的6个数,
因此,当q>1时,最多有6项是100到1000之间的整数.………………………16分
21.【选做题】.
-1:几何证明选讲
解:连OC.∵∠ABC=60°,∠BAC=40°,∴∠ACB=80°.…………………………………4分
∵OE⊥AB,∴E为的中点,∴和的度数均为80°.
∴∠EOC=80°+80°=160°.…………………………………………………………………8分
∴∠OEC=10°.……………………………………………………………………………10分
-2:矩阵与变换
解:设为曲线上任意一点,为曲线上与P相应的点,
则,即……………………………………5分
∵是曲线上的点,∴的方程.………………………………10分
-4:坐标系与参数方程
解:将曲线化成一般方程是,圆心是(1,0),
直线化成一般方程是,则圆心到直线的距离为2.…………………………5分
∴曲线上点到直线的距离为1,该点为(1,1).……………………………………10分
-5:不等式选讲
证明:由柯西不等式,得
…………………………………5分
.
∴.…………………………………………………10分
22.【必做题】本题满分10分.
证明:(1)当时,左边,右边左边,
∴等式成立.……………………………………………………………………………2分
(2)设当时,等式成立,
即.……………4分
则当时,
左边
∴时,等式成立.…………………………………………………………8分
由(1)、(2)可知,原等式对于任意成立.………………………………10分
23.【必做题】本题满分10分.
解:(1)第一班若在8∶20或8∶40发出,则旅客能乘到,其概率为
P=+=.………………………………………………………………………………3分
(2)旅客候车时间的分布列为:
候车时间(分)
10
30
50
70
90
概率
×
×
×
……………………………………………………………………………………6分
(3)候车时间的数学盼望为
10×+30×+50×+70×+90×
=5++++=30.……………………………………………………………9分
答:这旅客候车时间的数学盼望是30分钟.……………………………………………10分