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教学要求:要求学生深刻理解方阵对角化的条件,会将一个方阵化成对角矩阵.
教学重点:相似对角化条件和方阵的对角化.
教学难点:相似对角化条件和方阵的对角化.
教学时间:8学时.
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第五章方阵的特征值特征向量与相似化简
第五章方阵的特征值特征向量与相似化简
本章将讨论的内容包括数域、多项式的根、方阵的特
征值与特征向量,相似矩阵及其性质以及在相似条件下把
矩阵化简为对角矩阵和Jordan形矩阵的相关问题.
§1数域多项式的根
数,
数学问题,
式x4-2的因式分解问题,它在有理数范围内已经不能再分解
了,而在实系数范围内就可以分解为
进而在复系数范围内就可分解为
可见对于同一个问题,当所考虑的数的范围不同时,结果
,我们常常需要事先指明所涉及数的
.
,其中至少包括两个不同的
、差、积、商(当除数不为零
时)仍是F中的数,则称F为一个数域.
,,若α∈F,则α-α=0∈F,由于F中必有非零数b,于是
如果集合F中的任意两个元素做某种运算其结果仍在F
中,,数域就是含有不同元
素并且对四则运算(除数不为0)封闭的数集.
实数域、
.
有理数域是最小的数域;复数域是最大的数域.
以下讨论问题时,凡涉及到数的,我们总假设是在某
,参与运算的数都要限定在该数域内
例如,f(x)是实数域上的多项式,就是指f(x)的所有系数都
是实数.
容易验证,全体有理数的集合是一个数域,称为有理数域,、全体复数的集合也都是数域,分别称为实数域和复数域,记为R和C.
(i=1,2,…,n),
变量x的形式表达式
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(1)
≠0时,则称(1)为一个一元n次多项式,非零数an称为该多项式的首项系数,a0称为常数项.
例如3x4+x-2是一个4次多项式;
3是一个0次多项式;
,也可以认为它的次数为-∞.
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对于正整数n,与n次多项式f(x)对应的方程f(x)=0称为
n次代数方程.
例如一元二次方程
ax2+bx+c=0,a≠0.
它的根依据a,b,c的不同取值可能为不同二实根、相同二
,其重复出现的
.
(代数基本定理)
在复数域上,n次代数方程恰有n个根(n≥1).
(n≥1)多项式f(x),代数方程f(x)=0的
根亦称为多项式f(x)的根或零点.
:n次(n≥1)多项式f(x)在复
数域上恰有n个根(重根的个数按其重数计算).
按照根与一次因式的关系,多项式f(x)的每一个根xi都
对应着f(x)的一个一次因式x-xi,如果n次多项式(1)的全部
互异的根为x1,x2,…,xt,它们的重数分别为n1,n2,…,nt,则有
(2)
并且n1+n2+…+nt=n.
(2)式右端称为多项式f(x)在复数域上的标准分解式.
例如对于多项式f(x)=x3+2x2+x,分解式
f(x)=x(x+1)2,
f(x)=(x+1)2x
都是标准分解式,而
f(x)=x(x+1)(x+1),
都不是标准分解式.
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§2方阵的特征值与特征向量
=(aij),其主对角线上n个元素之和a11+a22+…+ann称为A的迹,记为trA.
(3)
=(aij),把含有字母λ的矩阵
|λE-A|的值表达式是一
个多项式,
征值,亦称为特征根.
如果是特征多项式的单根,则称为单特征值,否则称为重特征值.
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例1矩阵
的特征矩阵为
特征多项式为
Ψ(λ)=|λE-A|=λ(λ-1)(λ+2);
特征值为
λ1=0,λ2=1,λ3=-2.
显然,上(下)三角形矩阵的特征值就是其主对角线
上诸元素.
则有cn-1=-trA,c0=(-1)n|A|.
(λ)是一个首项系数
为1的n次多项式;若设
ψ(λ)=λn+cn-1λn-1+…+c1λ+c0
(4)
证明设n阶方阵A=(aij),则A的特征多项式为
由行列式值的定义可知,ψ(λ)的最高次项必取自均布项
(5)
(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann).
(6)
二、特征值与特征向量的性质