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2004—2005年度第一学期
科目:高等数学I
班级:
姓名:
学号:
成绩:
一、填空题(3
5
15)
1、fx
ln(x
2)的定义域是_
x
3
2、lim(sin2x
x
sin1)
2
x0
x
x
3、lim(1
3)x
e3
x
lim(1
3)x
e3
x
4、如果函数
f(x)
asinx
1sin3x
,在
x
处有极值,则
a
2
3
3
5、
2cos3
x(sinx
1)dx
4
2
3
二、单项选择题(35
15)
1、当x
0时,下列变量中与x2等价的无穷小量是(
)
A
。1cosx
B。
x
x2
C
。ex
1
D。
ln(1
x)sinx
2、设f(x)在xa处可导,则下列极限中等于
f'(a)的是(
A
)。
f(a)
f(a
h)
f(a
h)
f(a
h)
h0
h
h0
h
f(a
2h)
f(a)
(a2h)
f(a
h)
h0
h
h
0
3h
3、设在a,b
上函数f(x)满足条件f
x0,f
(x)
0则曲线yf
x
在该区间上()
A。上升且凹的
C。下降且凹的
4、设函数f
x具有连续的导数,则以下等式中错误的是(
)
d
b
。
x
t
t
f
x
x
A。
f(x)dxf(x)
B
d
f
)d
dx
(
(
)d
a
a
(x)dx
f(x)dx
D。f(t)dt
f(t)C
5、反常积分0
xex2
dx(
)
A。发散
B。收敛于1
C。收敛于1
1
2
2
三、算题(6'
8
48')
1、求极限lim
tanx
3
sinx
x0
sin
x
ln(sinx)
2、求lim 2
x ( 2x)
2
x
sint
处的切线方程和法线方程
3、求曲线
在当t
y
cos2t
4
4、已知函数yxsinx,x
0,计算dy
dx
5、求积分exdx
e
6、求积分 1lnxdx
e
7、计算曲线y sinx,0 x 与x轴围成的图形面积,并求该图形绕 y轴所产生的
旋转体体积。
8、计算星型线x asin3t,y acos3t,0 t 2,a 0的全长。
四、求函数求y x3 12x 10的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点 (7')
五、设f(x)在[0,1]上连续,且0
f(x),证明:方程x
x
在[0,1]上有且
f(t)dt1
0
仅有一根(5')
d
x
2
t2)dt(5')
六、设f(x)连续,计算
tf(x
dx
0
et,t 0
七、设f(t)
t
2
,计算:F(x)
x
,t
f(t)dt(5')
1
t6
0
答案:
一、填空题
1、(2,3)∪(3,+∞) 2、2 3、 lim(1 3)x e3
x
4、2
5、
2cos3
x(sinx
1)dx
4
2
3
二、
1、D
2、A
3、B
4、A
5、C
三、计算题
1、解:lim
tanx
sinx=lim1cosx=1
x
0
sin3x
x0
sin2
x2
2’
4’
ln(sinx)
1
cosx
cosx
1
2、解:lim
sinx
=lim
(2x)
2=lim
4(
2x)
4(
2x)
=
x
2
x
x
8
2
2
3、解:当t
曲线过点(
2,0),
由于dy
2
2,
4'
4
2
dx
4
所以,当t
处的切线方程和法线方程分别为
:y
2
2(x
2)
1’
4
2
y
2(x
2)
1'
4
2
4、解:dy
d(esinxlnx)
esinxlnx(cosxlnx
sinx)
xsinx(cosxlnx
sinx)
dx
dx
x
x
解:令u
x,dx2udu,则:
1’
解:令u
x,dx2udu,则:
1’
5、令u
x,dx2udu,
exdx
=2ueudu
2ueu
2eu
du
2(u
1)eu
c
2(
x
1)ex
c
e
lnxdx=
6、解:1
e
1
lnxdx
lnxdx[xlnx]11
1dx[xlnx]1e
dx2
2
1
e
1
e
e
1
e
e
1
e
7、解:面积ssinxdx2
2’
0
体积微分元dV
2xsinxdx
1’
所求体积V
2xsinxdx[2xcosx]0
2cosxdx42
3’
0
0
8、解:弧微分ds
3asin2tdt
2'
2
弧长s
2
3asin2tdt6a2sin2tdt
6a
4’
0
2
0
四、解:y'3x2
12,令y'
0,得驻点x12,x2
2
1’
y''6x,令y''
0,得点x3
0
由上可知:函数的单调增区间为:(-∞,—2),(2,+∞);函数的单调减区间为:(-2,2)
2'
函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6)
1’
凹区间为(:
0,+∞),凸区间为:(—∞,0)
1'
拐点为:(0,10)
(x)
x
x
1,函数在[0,1]上连续,在区间内可导
五、证:
构造函数
f(t)dt
0
1’
(0)
1,
(1)
1
0,
f(x)dx
0
由连续函数的零点定理知
,存在ξ在(0,1)
又因为
'(x)1f(x)
0所以函数在(
原命题得证。
六、解:令:ux2
t2,
du
2tdt
d
x
t2)dt=
d[1
0
dx
tf(x2
2
0
dx
2
x
七、解:当x0时,F(x)
x
dt
ex
et
内使()0
2'
0,1)的零点唯一。
2'
2’
f(u)du] xf(x2)
2’
当x
0时,F(x)
f(t)dt
et
dt
x
t
2
6dt
1
1
arctanx3
x
0
01
t
3
《高等数学 IV1》课程考试试卷
(A卷)
学院 专业 班级
学号 姓名
二
三
四
五
六
七
八
卷
一
分
号
教
得
分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
得
一、选择题(每小题3
分,共12分)
分
1、f(x)
3x2
xx,使f(n)(0)存在的最高数
n(
)
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
2、函数y
x2
(t1)etdt有极大点(
)
0
(A)x
1
(B)x
1
(C)x
1
(D)x0
3、已知函数
f(x)的一个原函数是
sin2x,xf'(x)dx
(
)
(A)2xcos2x
sin2x
C
(B)2xsin2x
cos2xC
(C)2xsin2x
cos2x
C
(D)xsin2x
cos2x
C
4、x2是函数f(x)
arctan1
的(
)
2
x
(A)点
(B)可去断点
(C)第一不可去断点
(D)第二断点
得
二、填空题(每小题3
分,共12分)
分
1、函数y
xex的形的拐点是
。
2、曲y
1
ex2
的是
。
3、设f(x)
x
2
f(x
h)f(xh)
e
tdt,则lim
。
0
h0
h
2
4、lim(1
x)x
。
x0
得
三、求下列极限(每小题
6分,共12分)。
分
lim1
cos(ex
2
1)
1、x
0
tan3xsinx
。
lim
1
1
。
2、x0
ln1x
x
得
四、计算下列微分或导数(每小题6分,共18分).
分
1、yxarctanxln1x2,求dy。
cosx dy
2、若y (sinx) ,求 。
3、
x
Rcost
d2y
设
Rsint
,求dx2。
y
得
分
2、求
1
3、
0
得
分
五、计算下列积分(每小题
6分,共18分)。
1、
1
dx。
x(1
x)
1
dx。
x(1 2lnx)
x2
dx。
1 x2
六、若0 x 1,证明不等式1 x e2x(8分)。
1 x
得
七、设D为曲线
y
1x2与直线
3x
2y
4
0所围成的平面图形
,
分
4
求:(1)D的面积S; (2)D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积 V。
(10分)
得
八、求微分方程dy
2y
5
分
(x1)2
的通解(10分)。
dx
x1
《高等数学 IV1》统考试题(A)答案及评分标准
一、选择(每题
1、B
二、填空(每题
3分,共12分)
2、D 3、A
3分,共12分)
4、C
1、(2,2e2)
2、y1
3、2ex2
4、12
e
三、计算下列极限
(每小题6分,共12
分)。
1、解:原式=lim
(ex2
4
1)2
(2分)
x
0
2x
lim
x4
(4分)
4
x
02x
1
(6分)
2
2、解:原式=lim
xln(1
x)
x
ln(1
x)
(3分)
xln(1
x)
lim
x2
x
0
x
0
1
x
1
lim1
1
lim
1
x
x
(3分)
x
0
2x
x
02x
2
四、求下列导数和微分
(每小题6
分,共18分).
1、解:dy
arctanx
x
x
dx
(3分)
1
x2
1
x2
arctanxdx
(6分)
2、解:y
(ecosxlnsinx)
(2分)
ecosxlnsinx(
sinxlnsinxcotxcosx)
(4分)