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第一章集合与常用逻辑用语
集合知识梳理
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA.
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集
合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
[常用结论与微点提醒]
,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
:空集是任何集合的子集,是非空集合的真子集,应时刻关注对于空集的讨论.
⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
5.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
常用逻辑用语知识梳理
、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.
(命题p的否定记为﹁p,读作“非p”)
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
否定
∃x0∈M,﹁p(x0)
∀x∈M,﹁p(x)
[常用结论与微点提醒]
(A⇒B且B⇒A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.
⇔﹁B是﹁A的充分不必要条件.
“改量词,否结论”.
第二章一元二次函数、方程和不等式
等式与不等式性质知识梳理
(1)作差法(2)作商法
(1)对称性:若a=b,则b=a.
(2)传递性:若a=b,b=c,则a=c.
(3)可加性:若a=b,则a+c=b+c.
(4)可乘性:若a=b,则ac=bc;若a=b,c=d,则ac=bd.
(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2).
[常用结论与微点提醒]
,不等号方向不变;同乘以一个负数,不等号方向改变.
(1)若a>b>0,m>0,则<;>(b-m>0).
(2)若ab>0,且a>b⇔<.
基本不等式及其应用知识梳理
:≤
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
[常用结论与微点提醒]
1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
≤≤.
3.≤≤≤(a>0,b>0).
:“一定,二正,三相等”,忽略某个条件,就会出错.
,,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
一元二次方程和一元二次不等式知识梳理
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
3.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a<b
a=b
a>b
(x-a)·(x-b)>0
{x|x<a或x>b}
{x|x≠a}
{x|x<b或x>a}
(x-a)·(x-b)<0
{x|a<x<b}
∅
{x|b<x<a}
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[常用结论与微点提醒]
|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).
记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间.
+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形.
+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或
第三章函数的概念与性质
函数的概念知识梳理
设A,B都是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
、值域
(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
[常用结论与微点提醒]
=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有0个或1个交点.
.
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.
函数的单调性与最值知识梳理
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
[常用结论与微点提醒]
(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.
=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.
3.“对勾函数”y=x+(a>0)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞);单调减区间是[-,0),(0,].
函数的奇偶性与周期性知识梳理
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[常用结论与微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).
(4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a>0,c为常数).
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
第四章指数函数与对数函数
指数与指数函数知识梳理
(1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|=
规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
实数指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R.
(1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1;
当x>0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
[常用结论与微点提醒]
=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.
对数与对数函数知识梳理
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
、运算性质与换底公式
(1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1,N>0).
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0;
当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
[常用结论与微点提醒]
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).(2)logambn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.
幂函数与二次函数知识梳理
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x=-
顶点
坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数;
在上是增函数
在上是增函数;
在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
函数与方程知识梳理
(1)函数零点的概念
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0;则函数y=f(x)在(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与微点提醒]
(x)在定义域上是单调函数,则f(x)“点”,而是方程f(x)=0的实根.
=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
,则必有无穷多个零点.
第五章三角函数
任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°=rad;1rad=°
弧长公式
弧长l=|α|r
扇形面积公式
S=lr=|α|r2
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线和正切线.
[常用结论与微点提醒]
:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
∈,则tanα>α>sinα.
°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.