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微积分的主要研究对象是函数,它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础,而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
一、极限的概念
首先让我们看看反正切函数的图形
当自变量向变化时,函数值在向靠近。而且向充分接近时,函数值可以和任意靠近。我们将向充分接近说成趋于,记为。一般地,当自变量趋于时,如果函数的函数值和某个常数任意靠近,我们就称函数当趋于时以为极限(或称当趋于时,的极限是)。记为
或
如我们在开始看到的情形就是
类似可以得到,仍以反正切函数为例,有
再一次观察反正切函数的图形,当自变量向点变化时,函数值在向靠近。而且向点充分接近时,函数值可以和任意靠近。我们将向点充分接近说成趋于,记为。一般地,当自变量趋于时,如果函数的函数值和某个常数任意靠近,我们就称函数当趋于时以为极限(或称当趋于
时,的极限是)。记为
或
这样我们就得到
极限的直观意义可以用下面的图形说明
函数在一点的极限可能存在,也可能不存在,如函数当时的极限就不存在,我们也可以从图形中看出
再看下面这个图形
可以看出,这个函数当时没有极限,但当从大于的方向趋于时,函数值与任意接近。一般地,当自变量从大于的方向趋于时,如果函数的函数值和某个常数任意靠近,就称为在点的右极限,记为
类似可以给出在点的左极限,记为。如此一来我们就有了以下结论
存在的充分必要条件是和都存在,且
二、极限的运算法则
为了方便地计算函数的极限,我们不加证明地给出极限的运算法则:
若,存在,则有
为常数
(假定)
例1求。
解观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则,但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则,
例2求。
解观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则,但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则,
只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的,接下来我们大家介绍两个重要的极限。
我们先给出两个重要的极限公式
之所以说这是两个重要极限,一方面因为它们出自于两个极限存在定理,另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。
在这里我们只给出第一个极限的证明,为此先不加证明地给出一个极限存在定理
夹逼定理设在的某领域内(可不包含点)有
且,则存在且
下面就来证明第一个重要极限,先看一下下面这张图
图中的圆周是单位圆周,圆心角的弧度是,则有
线段的长度为
弧的长度为
线段的长度为
当时,有
从而有
从而有
当时,,由夹逼定理得
由于都是奇函数,因此当时,有
即
从而有
从而有
当时,,由夹逼定理得
最后得到
例3求。
解本题不能直接应用第一个重要极限公式,需要作适当变换。注意到趋于0时,也趋于0,有
例4求。
解本题不能直接应用第一个重要极限公式,需要作适当变换。注意到趋于3时,趋于0,有
。
其中是无穷小量。
利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质
⒈有限个无穷小量的代数和是无穷小量。
⒉有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
⒊无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。
⒋任意常数与无穷小量的乘积是无穷小量。
例5求。
解前面我们已经知道,当时极限不存在,但它是有界变量,而是无穷小量。由无穷小量的性质3知是无穷小量,即
如果都是无穷小量,而仍然是无穷小量,这是称是关于的高阶无穷小量,记为。
如果是无穷小量,那么称为无穷大量。例如当时就是无穷大量。
先看看下面的图形
以上几个函数的图形在点都存在不同形式的“断裂”,但归纳起来,这些情况属于要么在的极限不存在,要么在的极限不等于在该点的函数值。
,且等式成立,则称在点处连续,称为函数的连续点。若不是的连续点,则称为函数
的间断点。
例6判断设函数
在点处是否连续。
解因为在点处有
可知不存在,,即是的间断点。
如果函数在区间内的每个点都连续,则称在区间内连续。
可以证明基本初等函数在它们的定义域内都是连续的,而函数的四则运算和复合运算仍保持函数的连续性,因此我们可以得出结论:初等函数在其定义域内是连续的。