文档介绍：第4章概率与概率分布
本章的主要目的:
掌握随机事件的含义、事件的概率计算方法及其运算法则;
掌握随机变量的含义及正态分布、二项分布、泊松分布的特性及应用。
了解大数定律及中心极限定理的含义。
概率基础
这节主要内容是随机事件、概率的含义、概率的运算规则等。有人说:如果一艘船即将沉没,一个著名的规则就是,救生艇会先载满妇女和小孩。我们先看在1912年4月15日(星期一)沉没的泰坦尼克号上的死亡人数表,这条规则是否被遵守?
男人
妇女
男孩
女孩
总计
幸存
332
318
29
27
706
死亡
1360
104
35
18
1517
总计
1692
422
64
45
2223
从本章起, 我们将用样本数据来对总体做一些推论(或结论)。那些推论中有很多将在事件概率的基础上得到。统计学家一般这样认为:如果某种解释基于非常小的概率,他们就拒绝这种解释,小概率事件法。
1. 随机事件
我们的现实生活中有两类不同的现象:确定性现象和随机现象。
随机现象是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。随机现象通过大量的观察会发现其有明显的统计规律性,这个观察的过程叫试验,试验有三个条件:试验可以在相同条件下重复进行;试验的所有可能结果是明确可知的;每次试验之前不能肯定哪一个结果会出现。
随机试验的每一个可能的结果称为随机事件,简称事件;若一个事件不可能再分解为更简单成分的结果或事件,就称之为基本事件或简单事件(样本点);基本事件的全体(全集)称为样本空间Ω;由某些基本事件组合而成的事件(子集)称为复合事件。
必然事件和不可能事件不是随机事件,但可以作为随机事件的两个极端情形来处理。
实例一:掷骰子观察点数的试验。掷一个骰子和两个骰子。
2. 随机事件的关系和运算
随机事件之间通常有一定的联系。
⑴事件的包含与相等。若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件。
⑵事件的并(和)。事件A与事件B至少有一个发生。A+B或A∪B。
⑶事件的交(积)。事件A与事件B同时发生。AB或A∩B
⑷事件的差。事件A发生而事件B不发生。A-B。
⑸互不相容(互斥)事件。事件A和事件B不能同时发生。AB=φ。
⑹补(逆、对立)事件。样本空间中所有不属于事件A的样本点组成的事件。
实例二:抽零件。
3. 事件的概率
随机事件发生可能性大小的数值称为随机事件的概率。我们将学习三种定义概率的方法。
概率的古典定义。假设一个已知过程包括n种不同的基本事件,那些基本事件中的某一个发生的可能性都是相同的。如果在这n种方式中有m种是属于事件A的,那么P(A)=m/n。
这里要强调指出两个共同的特点:有限基本事件(可能结果n);各结果出现的可能性相同。
实例三:书中例4-1;例行4-2。
概率的统计定义:相对频数近似。对一个过程观察许多次,计算出事件A实际发生的次数。基于这些实际结果,P(A)可按公式“P(A)=A发生的次数/试验重复的次数”来估计。
大数法则告诉我们当观测的次数增加时,相应的估计就趋近于精确的概率。当一个过程一次又一次地重复时, 一个事件的相对频数概率就趋近于实际概率。也就是说只有很少试验的概率估计可能与真实数值背道而驰,但如果基于很多的试验,估计就会更精确。