文档介绍：概率论起源于17世纪,当时在人口统计、人寿保险等工作中,要整理和研究大量的随机数据资料,这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。
参赌者就想:如果同时掷两颗骰子,则点数之和为9 和点数之和为10 ,哪种情况出现的可能性较大?
例如17世纪中叶,贵族德·梅尔发现:将一枚骰子连掷四次,只出现一个6 点的机会比较多,而同时将两枚掷24次,只出现一次双6 的机会却很少。
第一节概率的一般概念
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马(1601—1665),他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时,发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年,法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》,该书奠定了古典概率理论的基础,并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后,法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布,德方法。
一、频率和概率的定义
1. 频率
对随机现象进行观测时,若事件A在n次观测中出现了m次,则m与n的比值,就是事件A出现的频率(也称为相对频数)。用 W(A)表示事件A的频率。
公式为:W(A)=m/n
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。事件A发生的概率记为P(A)。
在相同的条件下,某个事件A发生的概率是一个常数。
根据概率的计算方法,概率可分为后验概率和先验概率。
⑴后验概率(统计概率)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率作为随机事件A概率的估计值。
事件A的频率不是常数,它随试验次数的变化而变化,但是随着试验次数的无限增大,事件A的频率会逐渐趋近于一个常数P,P就是随机事件A出现概率的近似值。
⑵先验概率(古典概率)
如果某个随机现象所有可能结果是有限的,其总数为n,每一种可能结果出现的可能性相等,这个现象中的随机事件A包括m个可能结果,则事件A的概率为m与n的比值,即
P(A)=m/n。
例:某班有20名男生,25名女生,现随机从全班同学中抽取一名同学,抽到男生的概率为20/45=4/9,抽到女生的概率为25/45=5/9。
二、概率的性质
1. 对于任何事件A,均有0≤P(A)≤1
2. 不可能事件的概率为零,P(V)=0
3. 必然事件的概率为1,P(U)=1
1. 概率的加法
互不相容事件:在一次试验中不可能同时出现的事件。
事件之和:有限个互不相容事件中任意一个发生。如:A+B=A或B发生。
概率的加法法则:有限个互不相容事件之和的概率等于这些事件概率的和。
例:某学生从5个试题中任意抽取一题,则抽到试题2或试题3的概率为2/5。
三、概率的加法和乘法
例:根据上海市职业代际流动的统计,,,求向上流动的概率是多少?
例:为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响,某大学统计出学生中只有父亲具有大学文化程度的占30%,只有母亲具有大学文化程度的占20%,而双方都具有大学文化程度的占有10%,问从学生中任抽一名,父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少?
2. 概率的乘法
独立事件:出现概率相互不影响的事件。
事件之积:有限个互相独立事件同时发生。如:
A×B=A和B同时发生。
概率的乘法法则:有限个独立事件乘积的概率等于这
些事件概率的乘积。
例:两个学生从5个试题中任意抽取一题,第一个学生
把抽出的题还回去后,第二个学生再抽,则两个学生
都抽到试题2的概率为1/25。