文档介绍：泛函分析知识点小结及应用
第七章度量空间
§1 度量空间的进一步例子
一度量空间的定义
设是任一非空集合,若对于,都有唯一确定的实数与之对应,且满足
:,=0;
2. 对称性:d(x,y)=d(y,x);
:对,都有+, 则称(,)为度量空间,中的元素称为点。
欧氏空间对中任意两点和,规定距离为=.
空间表示闭区间上实值(或复值),定义=.
(空间记=.
设,,定义=.
二度量空间的进一步例子
例1 序列空间
令表示实数列(或复数列)的全体,对,,令=.
例2 有界函数空间
设是一个给定的集合,令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ,定义=.
例3 可测函数空间
设为上实值(或复值)的可测函数的全体,为Lebesgue测度,若,对任意两个可测函数及,由于,故不等式左边为上可积函数. 令
=.
§2 度量空间中的极限
设是中点列,若,.
()
则称是收敛点列,是点列的极限.
收敛点列的极限是唯一的. 若设既牧敛于又收敛,则因为,而有=0. 所以=.
注()式换一个表达方式:=. 即当点列极限存在时,距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有
距离是和的连续函数.
证明++ -+;
++ -
+. 所以|-|+

具体空间中点列收敛的具体意义:
1. 欧氏空间=,,为中的点列,=, =. 对每个,有.
2. 设,,则= 在一致收敛于.
3. 序列空间设=,,及=分别是中的点列及点,则依坐标收敛于.
4. 可测函数空间设,,则因
=,有.
§3 度量空间中的稠密集可分空间

定义设是度量空间,和是的两个子集,令表示的闭包,若,则称集在集中稠密,当=时,称为的一个稠密子集. 若有一个可数的稠密子集,则称是可分空间.
例1 维欧氏空间是可分空间. 事实上,坐标为有理数的点的全体是的可数稠密子集.
例2 离散距离空间可分是可数集.
例3 是不可分空间.
§4 连续映照
定义设=,=是两个度量空间,是到中的映射:= =. ,若0,0,. 且,都有,则称在连续:
定理 1 设是度量空间到度量空间中的映射:, 则在连续当时,必有.

定理2 度量空间到中的映照是上的连续映射任意开集,是中的开集.
定理度量空间到中的映照是上的连续映照任意闭集,是中的闭集.
§5 柯西点列和完备度量空间
定义 1 设=(,)是度量空间,是中的点列. 若0,,,有,则称是中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(,)中每个柯西点列都收敛,则称(,)是完备的度量空间.
在一般空间中,柯西点列不一定收敛,如点列1, , 1,41, 在中收敛于,在有理数集中不收敛.
但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.
定理1 完备度量空间的子空间是完备度量空间是中的闭子空间.
常见例子:(1)(收敛的实或复数列的全体)是完备度量空间
(2) 是完备的度量空间
(3) (实系数多项式全体) 是不完备的度量空间
§6 度量空间的完备化
定义 1 设(,),(,)是两个度量空间,若存在到上的保距映射(,,有(,)=(,)),则称(,)和(,)等距同构,此