文档介绍：§1度量空间的进一步例子设是任一非空集合,若对于,都有唯一确定的实数与之对应,:,=0;:d(x,y)=d(y,x);:对,都有+,则称(,)为度量空间,中的元素称为点。欧氏空间对中任意两点和,规定距离为=.空间表示闭区间上实值(或复值),定义=.(空间记=.设,,定义=.例1序列空间令表示实数列(或复数列)的全体,对,,令=.例2有界函数空间设是一个给定的集合,令表示上有界实值(或复值)函数的全体.,定义=.例3可测函数空间设为上实值(或复值)的可测函数的全体,为Lebesgue测度,若,对任意两个可测函数及,由于,=.§2度量空间中的极限设是中点列,若,.()则称是收敛点列,,则因为,而有==.注()式换一个表达方式:=.即当点列极限存在时,:=,,为中的点列,=,=.对每个,,,则==,,及=分别是中的点列及点,,,则因=,有.§3度量空间中的稠密集可分空间定义设是度量空间,和是的两个子集,令表示的闭包,若,则称集在集中稠密,当=时,,,.§4连续映射定义设=,=是两个度量空间,是到中的映射:==.,若0,0,,都有,则称在连续:定理1设是度量空间到度量空间中的映射:,则在连续当时,,,是中的闭集.§5柯西点列和完备度量空间定义1设=(,)是度量空间,,,,有,(,)中每个柯西点列都收敛,则称(,),柯西点列不一定收敛,如点列1,,1,41,在中收敛于,:(1)(收敛的实或复数列的全体)是完备度量空间(2)是完备的度量空间(3)(实系数多项式全体)是不完备的度量空间§6度量空间的完备化定义1设(,),(,)是两个度量空间,若存在到上的保距映射(,,有(,)=(,)),则称(,)和(,)等距同构,此时称为到上的等距同构映照。等距同构映照是1-(度量空间的完备化定理)设=(,)是度量空间,那么一定存在一完备度量空间=(,),使与的其个稠密子空间等距同构,并且在等距同构意义下是唯一的,即若(,)也是一完备度量空间,且与的其个稠密子空间等距同构,则(,)与(,)等距同构.§7压缩映照原理及其应用定义设是度量空间,是到中的压映照,若存在一个数:01,.、,成立则称是到中的压缩映照(简称压缩映照).定理1.(压缩映射定理)设是完备度量空间,是上的压缩映照,则有且只有一个不动点(即方程有且只有一个