文档介绍：计算实****报告
一实****目的
(1)了解矩阵特征值与相应特征向量求解的意义,理解幂法和反幂法的原理,能编制此算法的程序,并能求解实际问题。
(2)通过对比非线性方程的迭代法,理解线性方程组迭代解法的原理,学会编写Jacobi 迭代法程序,并能求解中小型非线性方程组。初始点对收敛性质及收敛速度的影响。
(3)理解 QR 法计算矩阵特征值与特征向量的原理,能编制此算法的程序,并用于实际问题的求解。
二问题定义及题目分析
分别用幂法和幂法加速技术求矩阵
的主特征值和特征向量.
对于实对称矩阵,用Jacobi方法编写其程序,并用所编程序求下列矩阵的全部特征值.
对于实矩阵,用QR方法编写其程序,并用所编程序求下列矩阵的全部特征值:
三概要设计
幂法用于求按模最大的特征值及其对应的特征向量的一种数值算法,它要求矩阵
A的特征值有如下关系: ,对于相应的特征向量。其算法如下:
Step 0:初始化数据
Step 1:计算。
Step 2:令。
Step 3:令;如果或,则 goto Step 4;否则, k = k + 1 ,goto Step 1。
Step 4:输出结果
算法说明与要求
输入参数为实数矩阵、初始向量、误差限与最大迭代次数。输出参数为特征值及相对应的特征向量。注意初始向量不能为“0”向量。
迭代法的原理
如果能将方程 Ax=b 改写成等价形式:x=Bx+f。如果B 满足:ρ(B)<1,则对于任意初始向量 x (0) ,由迭代 x( k + 1) = Bx(k ) + f 产生的序列均收敛到方程组的精确解。迭代法中两种最有名的迭代法就是Jacobi 迭代法,它的迭代矩阵 B 为:
,
其中,D 为系数矩阵 A 的对角元所组成对角矩阵,L 为系数矩阵 A 的对角元下方所有元素所组成的下三角矩阵,U 为系数矩阵 A 的对角元上方所有元素所组成的上三角矩阵。
算法如下:
Step 0:初始化数据和。
Step 1:计算D,L,U,J或G, 得到迭代矩阵B.
Step 2:
如果或,goto Step 3;否则 goto Step 2。
Step 3:输出结果。
程序说明与要求
程序的输入参数为系数矩阵与常量、初始向量及误差控制,输出参数为方程组的近似解。要求输入系数 A 中对角元不能存在 0,如果对角元出现 0 元素,则可以通过交换方程组中方程的次序解决。
QR法原理
QR算法是求实对称矩阵全部特征的最有效方法。其基本过程就是利用矩阵的QR分解,即将任一实数矩阵分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵 R 的乘积。
QR 算法的计算过程如下
Step 0:初始化数据
Step 1:令。
Step 2:计算
Step 3:令为所有对角元下方元素绝对值之和;
如果,则 goto Step 4;
否则, k = k + 1 ,goto Step 1。
Step 4:输出结果。
算法的要求与说明
先利用函数 house 将对称矩阵 A 通过Householder 相似变换为对称三对角阵 T,然后通过程序 QR_method 求出矩阵 T 的特征值。程序输入参数为矩阵 A,输出参数为矩阵 A 的所有特征值。
四详细设计
源程序
(1)
#include""
#include""
void main() /*主函数*/
{int i,j;
int n=4,k=0;
float a[4][4]={{,-,,},{,,-,},{-,-,,},{-,-,,}},x[4]={1,1,1,1};
double max,m,y[4],z[4],ej=,e;
printf("k max(xk) y(k)=x(k)/max(x(k)) x(k+1)=a*y(k)\n"); /*输出格式*/
cyclo:
{for(i=0;i<n;i++) /*循环次数统计并从0次开始输出,并缓存临时向量组用于后面的循环条件比较*/
z[i]=x[i];
k=k+1;
printf("%d ",k-1);
{max=; /*比较求出向量组x[]的元素最大值*/
for(i=0;i<n;i++)
if(fabs(x[i])>max)
max=fabs(x[i]);
}
for(i=0;i<n;i++) /*求出向量组y[]的各元素值*/
y[i]=x[i]/max;
printf("%f ",max);
printf("("); /*输出y[i]*/
for(i=0