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期末考试试卷(A卷)
课程名称数学分析1(试点班)课程编号83410001任课教师刘敏思
题型
叙述题
判断题
计算题
证明题
总分
附加题
分值
12
16
20
52
100
20
得分
得分
评阅人
一、叙述题(叙述下列概念、命题或性质。共4题,共4×3=12分)
1、。
答:存在,使得对任意,存在满足,但。
2、的归结原则。
答:的充要条件是对任意单调递增的正无穷大数列,总有。
3、的柯西准则的否定形式。
答:不存在的充要条件是存在,使得对任意,存在满足,但。
4、的局部有界性。
答:如果存在,则存在,使得在其中有界。
院(系):专业:年级:学生姓名:学号:
-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------
得分
评阅人
二、判断题(判断下列命题的正误。正确的打“√”;错误的打“×”并给出反例。共4题,共4×4=16分)
1、若与都不存在,则必不存在。(×)
反例:取,显然它们的极限都不存在,但。
2、若在上一致连续,则必存在。(×)反例:取,显然在上一致连续,但不存在。
3、若在上连续,且存在,则在上必有最大值或最小值。(√)
4、若在点可导,且,则必为的极值。(×)
反例:取,显然,但不是的极值。
得分
评阅人
三、计算题(共2题,共20分)
求下列极限:(10分)
(1);(2)。
解:(1)因
所以,原式=。……………………………(分)
(2)因,,,,
所以,原式=。…………………………...(分)
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2、求下列函数的导数或高阶导数:(10分)
(1)设(),求。
解:………………………………….(分)
(2)设,求。
解:
一般地,。………………………………….(分)
得分
评阅人
四、证明题(共4题,共52分)
1、(1)证明数列极限的迫敛性:即若数列满足
(A)都以a为极限;
(B)存在正数,当时有,则收敛,且。
(2)设,利用(1)求。
(3)若将(1)中的条件(A)改为“都收敛”,则数列是否一定收敛。(16分)
(1)证明:由条件(A)及极限的定义,对任意,存在,当时,总有
,
取,则由条件(B),当时,有
即。
故命题成立。…………………………………..(分)
-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------
(2)因,而
由(1)得……………………………..(分)
(3)数列不一定收敛。反例:取,
显然,,但数列不收敛。……………………………..(分)
2、设是定义在上的单调递增的有界函数,证明右极限存在,且
。(10分)
证明:由确界原理得存在,记。由下确界的定义,对任意,
存在,使得……………………………(分)
又单调递增,所以当时,总有
于是,取,则当时,总有
即………………………….(分)
故命题成立。
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3、设在上可导,且在上有界(即),证明:
(1)在上一致连续;(2)存在;
(3)若存在且,则存在,使。(16分)
证明:(1)由题设及拉格朗日定理,对任意,不妨设,总存在
,使得………….(*)
对任意,取,则当时,总有
所以,在上一致连续。……………………………..(分)
(2)对任意,取,则当时,总有
从而,由(*)式,
所以由柯西准则存在。……………………………..(分)
(3)由极限的局部保号性及连续函数的最值性可得,在上必存在最大值点或最小值点(记为),从而必为极值点,故由费马定理知。………(分)
4、设在上连续,,证明:对任意正整数,存在,使得
。(10分)
证明:记
由题设……………………..(分)
若中至少有一个为0,则结论成立,否则中至少有
两个异号,则由连续函数的零值定理,存在,使得
即。………………………….(分)
-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------
附加题:设在上可导,且存在,证明:
(1)在上一致连续;(2)。(20分)
证明:(1)因,由极限的局部保号性,存在,使得在上
有界,从而由第四大题第3小题(1)知,在上一致连续
又在上连续,从而一致连续
所以,由一致连续的区间可加性得,在上一致连续。
(2)法一:由拉格朗日定理,对任意,存在,使得
由题设,
所以由函数极限的Stolz定理得。………………….(分)
法二:由极限的定义知,对任意,存在,使得当时
总有………………………..(Ⅰ)
又时,由拉格朗日定理及.(Ⅰ)式得
而,从而对上述,存在,使得当时
取,则当时,有,故。…(分)
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