文档介绍：追击问题解答
问题重述
日本一舰艇侵入我东海海域,被我海军巡逻艇发现后以全速逃往公海。我海军巡逻舰在日舰侧后方以全速追击,追击方向直指日舰。
设开始时日舰在A处,我舰在原点O处。日舰沿平行于y轴直线向北逃窜。在如下数据下(公里/分钟),(公里),求出我舰追上日舰的时间和地点。并画出我舰追击的路径。
问题解答
1 模型的建立
O
A
P
Q
我舰的轨迹y=y(x),并设经过时间t, 我舰位于,日舰位于, 就是我舰的运动轨迹在点P处的切线。因此有
即
OP弧的长度为:
又根据题意,弧OP的长度为线段AQ长度的倍。即
整理得微分方程:
2 追击问题的数值解
首先将此问题表达为等价的一阶微分方程组,建立此问题的参数方程。设在任意时刻t,日舰的坐标为,我舰的坐标为。
(1)设我舰的速度恒为,则
(2)由于我舰的前进方向始终对准日舰,故我舰的速度向量平行于两舰的位置所构成的向量,即:
故
将(1)中关系代入上式求得,进而得到
因日舰以速度沿直线运动,有,。
t=0时,我舰位于原点,故。
(3)由上述关系得到我舰的运动轨迹得参数方程为:
:
function dy=guiji(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=3*(10-y(1))/sqrt((10-y(1))^2+(t+20-y(2))^2);
dy(2)=3*(t+20-y(2))/sqrt((10-y(1))^2+(t+20-y(2))^2);
取t0=0;tf=12,:
t0=0;tf=12;
[t,y]=ode45('guiji',[t0,tf],[0 0]);
plot(y(:,1),y(:,2),'*')
hold on
x=10;
y=20::50;
plot(x,y,'-');
3 计算机数值模拟
根据我舰在时刻的位置推算下一时刻的位置,以等距的时间间隔逐点描述我舰的运动过程。
O
A
P
Q
设我舰的运动位置为,
日舰的运动位置为,
则, ;
。
我舰在第个时刻的位置为
,
日舰在第个时刻的位置为
,
O
令,则。
令,
则。
function [z,t,s]=chja(j0,vj,vc,dt)
c=zeros(2,1);
j=j0;
n=0;
s=0;
x=zeros(2,1);
while c(1,1)<j(1,1)
a=j-c; % 位置差向量
b=(vc*dt/sqrt(dot(a,a)))*a; % 我舰的运动向量
c=c+b; % 我舰的位置
s=s+sqrt(dot(b,b)); % 我舰行走的路程
n=n+1; % 步数
j(1,1)=j0(1,1);
j(2,1)=j0(2,1)+n*dt;
x=[x c]; % 我舰各个位置的记录
t=n*dt; % 累计时间
z=c; % 记录我舰最后的位置
end
plot(x(1,:),x(2,:),'r.') %画出我舰的运动轨迹(红色)
hold on;
y=0::80;
plot(j0(1,1),y,'g-') % 直线——日舰的运动轨迹