文档介绍：第五章部分相干光理论
证明解析信号的实部和虚部之间互为希尔伯特变换,即它们之间有下面的关系
,
证明:
(1)由(5-10)式,解析函数的实部
(-11)
而,比较以上两式,可见有关系式
(-13)
上式可表示为(-18)
又因为
所以有(-19)
对上式两边取傅里叶逆变换
上式中
再利用卷积定义
令, , ,
所以(-22)
可见
(2)参考教材中(-10)式的推导过程,对于解析函数的虚部有下式成立
(-1)
(-2)
比较(-1)和(-2)式,得到
所以
对上式两边取傅里叶逆变换得
所以
考察用宽带光作杨氏干涉实验
(1) 证明观察屏上的入射光场可表示为
其中
而为第个针孔的面积。
(2) 利用(1)的结果证明照射到屏幕上的光强度可表示为
其中
(3) 证明当入射光为窄带光时,上式简化为
式中为纯虚数的模,
证明:
(1)由教材中(4-54)式
利用上式得到杨氏实验中由任一衍射孔在观察屏上Q点时刻的光场分布为
由于针孔很小,可将上式右端被积函数在各针孔内看作常数,因而有
式中为第个针孔的面积。令
观察屏上总的光扰动为
(2)光强度
(-1)
定义
(-1)式中前两项可以表示为和,对于第三项,根据定义有
(-2)
展开并改变求时间平均与极限的顺序,得到下列四项
因而(-2)式可化为
首先对求极限,有下面的结果
式中,而当时,有下面结果
(-1)式右边第三项为
用同样的方法,(-1)式右边第四项化为
将以上结果代入(-1)式,得到Q点的光强为
(-3)
(3)窄带光可用下式来表示
对于窄带光来说,式中相对于来说是一个缓变函数。窄带光的互相干函数
对求导时,求时间平均的部分可视为常数。的二阶导数为
令
将以上结果代入(-3)式,得到窄带光的光强公式
在得到最后一个等式时考虑到了、是纯虚数,因而有。
证明(-16)式,即
证明:Schwartz不等式告诉我们,如果和是的两个任意复值函数,那么
由上式可直接写出
将上式两边归一化,并利用
得到
(1) 证明图5-7(a)中条纹的空间周期为
(2) 证明图5-7(b)中沿轴条纹包络的单宽度
解答:
(1)由教材中(-7)式,在余弦函数的相位因子中,令
图(a)中相邻两直线之间,两直线的方程分别为
在图(a)中先求轴上A、B两点之间的距离,令,在上述两方程中令,求出和后相减得,又令(常数),两方程相减求得,再由直角,得到,式中。
(2)光源的相干长度
干涉条纹强度最大值处
条纹第一次消失
参考图(b),对于BC段值相同,值不同,由上面方程组求得。对于AB段值相同,值不同。由上面方程组求得。条纹很密近似取整数条纹,由得
式中
图p5-5所示为一洛埃(Lloyd)镜干涉实验的几何关系图,一点光源置于一全反射平面镜上距离处,在距该点源处的屏幕上观察干涉条纹。光源的复相干度为
假设及,并考虑反射时场的符号变化(偏振方向平行于反射镜),试求
(1) 干涉条纹的空间频率;
(2) 假设相干涉的两束光具有相等的强度,干涉条纹作为函数的可见度。
图p5-5
解答:洛埃镜的干涉条纹是由光源直接射到屏幕上的光与先入射到反射镜而后反射到屏幕上的光相干涉而形成的,它可以看成是光源与其镜像虚光源发出的光相干涉而产生的。光在掠入射时反射后有相位跃变,根据图中所设坐标系,实光源发出的光波记作,虚光源发出的光波记作。设窄带光的复相干度用表示,由实点光源入射到屏上Q点的光波为
由虚光源出发到达Q点的光扰动为
式中,
设反射镜为全反射镜,两光源到Q点的距离相差不大,上述两部分光扰动可视为强度相等,总的光扰动可记作
相应的光强度为
由于两相干光束强度相等,可定义
考虑到洛埃镜反射光实际上来自光源本身,故有
因而得到
代入Q点光强度的表达式,得到
式中,上式可进一步简化为
由题中所设,,可以作出下列近似
由以上近似关系式得到
由上式求得条纹空间频率为
式中为光源的平均波长。本题中、、均大于零,条纹的可见度,即余弦函数的调制度为
证明功率谱密度函数的性质(5-101)式
证明:
设为一解析函数。证明自相关函数具有厄米性,功率谱为一实数。
证明:由(5-66)式
两边取复共轭得
利用时间平移不变性,两个自变量均平移,即,,得
所以,则具有厄米性。
功率谱
为两共轭复数之和,因此