文档介绍：指数函数知识点总结
(一)指数与指数幂的运算
:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
(1)· ; (2) ;
(3).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
定义域 R
定义域 R
值域y>0
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
图象都过定点(0,1)
图象都过定点(0,1)
两函数图像关于y轴对称
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
指数幂的运算
例1 (1)计算:(124+22)-27+16-2×(8)-1;
(2)已知x+x=3,求的值.
思维启迪:(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可;
(2)注意x2+x-2、x+x-与x+x-之间的关系.
解(1)(124+22)-27+16-2×(8-)-1
=(11+)2×-33×+24×-2×8-×(-1)
=11+-3+23-2×23×
=11+-+8-8=11.
(2)∵x+x-=3,∴(x+x-)2=9,
∴x+2+x-1=9,∴x+x-1=7,
∴(x+x-1)2=49,∴x2+x-2=47,
又∵x+x-=(x+x-)·(x-1+x-1)
=3×(7-1)=18,
∴==3.
知识点拓展
底数大小对指数函数图像的影响:
由指数函数与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从上到下的底数由大到小;由指数函数与直线x=-1相交于点(-1,a)可知,在y轴左侧,图像从上到下底数由小到大。
当底数a>1(0<a<1)时,指数函数是R上的增(减)函数,且当x>0(x<0)时,底数a的数值越大(小),其函数值增长(减少)得越快。
指数函数y=ax图像的变换:
平移变换:把函数y=ax的图像向左平移b(b>0)个单位,则得到函数y=ax+b的图像;把函数y=ax的图像向右平移b(b>0)个单位,则得到函数y=ax-b的图像;把函数y=ax的图像向上平移b(b>0)个单位,则得到函数y=ax+b的图像;把函数y=ax的图像向下平移b(b>0)个单位,则得到函数y=ax—b的图像(左加右减,上加下减)
对称变换:函数y=ax的图像与函数y=a-x的图像关于y轴对称;函数y=-ax的图像与函数y=ax的图像关于x轴对称;函数y=-a-x的图像与函数y=ax的图像关于原点对称;函数y=a|x|的图像关于y轴对称.
例: 为了得到函数的图象,可以把函数的图象( ).
,再向上平移5个单位长度
,再向下平移5个单位长度
,再向上平移5个单位长度
,再向下平移5个单位长度
分析:注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断.
解:∵,∴把函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数的图象,故选(C).
评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等.
比较两个有理数指数幂的大小:
比较幂的大小常用方法:比差(商)法;函数单调性法;中间值法:要比较A与B 的大小,先找一个中间值C,在比较A与C,B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B的大小;
用指数函数单调性比较大小,基本步骤:确定所要考察的指数函数;根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性;比较指数的大小,利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系.
常用技巧:
①对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较,可利用指数函数单调性判断;
②对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可利用指数函数图像变化规律来判断;
③对于底数不同指数也不同的两个幂的大小比较,则应通过中间量来比较;
④对于3个或以上的数的大小比较,则应先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,在比较各组数的大小即可.
异底指数比较大小的五种技巧:
①化同底:因为化为同底后即可应用指数函数单调性解决,所以能化同底的尽可能化;
②商比法: