文档介绍：数列
数列的概念
按照一定的顺序排列的一列数称数列,数列中的每一个数叫做这个数的项,排在在第一位的数称为这个数的第一项,也叫首项。
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…an,…其中an是数列的第n项,我们把上面的数简记为{ an }。
如果数列{ an }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即an=f(n)
如果已知数列{ an }的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{ an }的递推公式。
数列的前n项和及通项的关系
Sn=a1+a2+a3+。。。+an
an= S1(n=1)
Sn-Sn-1(n≥2)
2,数列的分类
按项数分类①有穷数列:项数有限②无穷数列:项数无限
(2)按项与项之间的大小关系分类:①递增数列:an+1>an ②递减数列:an+1<an ③常数数列:an+1=an ④摆动数列:有些项满足an+1≥an ,有些项满足an+1≤an(其中n∈N*)
3,根据数列的通项公式判定数列的单调性
已知an=f(n),若f(x)的单调性可以确定,则{ an }的单调性也可以确定。
比较法
作差比较法
n∈N*, an+1- an=0,则{ an }为常数列
an+1- an>0,则{ an }为递增数列
an+1- an<0,则{ an }为递减数列
对各项同号的数列,可作商比较
n∈N*, an>0(<0),an+1/an=1,则{ an }为常数列
an+1/an>1(an+1/an<1),则{ an }为递增数列
an+1/an<1(an+1/an>1),则{ an }为递减数列
已知数列的递推公式,求该数列的通项公式的常用方法。
(1)求出该数列的前若干项,归纳,猜想出它的通项公式。
(2)对于常见的简单的递推公式,可以采用迭代法或迭加法,累乘法求其通项公式。
①形如“an+1=an+f(n)”的递推公式,可以采用迭加法,即由递推公式可得
a2= a1+f(1)
a3= a2+f(2)
a4= a3+f(3)
。。。
an= an-1+f(n-1)
将上述各式相加得an= a1+f(1)+f(2)+。。。+f(n-1)
②形如“an+1=anf(n)”的递推公式,一般采用累加乘法,即由递推公式可得
a2= a1f(1)
a3= a2f(2)
a4= a3f(3)
。。。
an= an-1f(n-1)
以上各式相乘得an= a1f(1)f(2)。。。f(n-1)
③形如“an+1=Aan+B”的递推公式,可以采用构造法,换元法求得通项公式,即由已知的递推公式得
an+1-B/(1-A)=A(an-B/(1-A))
设bn=an-B/(1-A),则得bn+1=Abn,一下可以利用②的方法求出bn,从而求得an
④斐波那契数列:一个数列中,从第3项起,每一项都是前相邻两项之和,即a1=1,
a2=1,a3=2。。。an=an-1+an-2(n≥3)。
由数列的前若干项求数列的通项公式
把数列的项看作项数的函数,这个函数的解析式即数列的通项公式an=f(n),因此,问题在于探求n经过怎样的算法得到an。
应了解常见的简单数列的通项公式,如:
1,2,3,4..... an=n
2,4,6,8.... an=2n
1,3,5,7..... an=2n-1
1,4,9,16,... an=n2
1,8,27,64... an=n3
-1,1,-1,1,... an=(-1)n
1,-1,1,-1... an=(-1)n+1
1,0,1,0... an=[1-(-1)n]/2
0,1,0,1... an=[1+(-1)n]/2
观察分析法
先对已知项的多方面进行观察分析,如符号特征,绝对值特征,公式的分子,分母的独立特征,分子,分母的关系特征,相邻项的变换特征,相邻项的比,差的特征等,再通过类比,猜想,归纳等方法进行尝试,调整,最后得以化归,具体的方法有:
①联想比较法。如:由-1,2,-3,4,-5....联想到数列-1,1,-1,1...及数列1,2,3,4,5...,可得an=n(-1)n
由3,6,11,18,27,...,9,16,25,...可得an=2+n2
由1/5,3/7,5/9,7/11...可知该数列中各项分式的分子为2n-1,而分母比分子多4,故an=(2n-1)/(2n+3)
②逐差法,如:1,3,5,7,9..