文档介绍：函数与方程的思想方法概述
作者:杨国春
地址:新建一中邮编:330100 电话:**********
E-mail:yangguochun2003@
函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。
函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。
方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。
方程的思想与函数的思想密切相关,函数与方程的思想方法,几乎渗透到中学数学的各个领域,在解题中有着广泛的运用。对于函数,当时,就转化为方程,也可以把函数式看做二元方程,函数与方程这种相互转化的关系十分重要。
函数与表达式也可以相互转化,对于函数,当时,就转化为不等式,借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。
数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数,用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
函数与二项式定理密切相关,利用这个函数,用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。
解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后,立体几何与函数的关系就更加密切。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题,达到化难为易、化繁为简的目的。
高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用,可以分成逐渐提高的四个层次。
第一层次:解方程或不等式,主要是指解代数(一次、二次等)方程或不等式,指数、对数方程或不等式,三角方程或不等式,复数方程等;
第二层次:对带参数的方程或不等式的讨论,常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题;
第三层次:转化为方程的讨论,如曲线的位置关系(包括点与曲线及直线与曲线的位置关系)、函数的性质、集合的关系等;
第四层次:构造方程或不等式求解问题。
其中第三、四层次(特别是第四层次)已经进入到方程、不等式观点应用的境界,即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。
纵观中学数学,可谓是以函数为中心,以函数为纲,“纲举目张”,抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究,也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质,是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。
经典例题:
函数思想
所谓函数思想,不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题,它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法,是通过构造函数关系,使用函数方法来解决问题的思想。
构造函数,运用函数的性质
例1.(1)已知关于的方程有唯一解,求的值;
(2)解不等式。
分析:(1)构造函数,则问题转化为求的零点唯一时的。
(2)由观察可构造函数再利用函数的性质,解决问题。
解析:(1)令,
的图像关于轴对称,而题设方程由唯一解,从而此解必为(否则必有另一解),。
(2)设,易证在区间内为增函数。点评:有关不等式、方程及最值之类的问题,通过构造函数关系式,借助函数的图像与性质,常可使问题简单得解。
,揭示函数关系
,使不等式恒成立的的取值范围是
分析:从一个含有多变元的数学问题里,选定合适的主变元,从而揭示其中主要的函数关系。
解析; 且,,即。①
当时,不定式①不成立。
当时,设。
当,
即又当,
即故的取值范围时。
点评:本解的巧妙之处是“反客为主”,求x反而以a为主变元对x进行讨论,这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论,则问题的解决就繁就难多了。
,确定函数关系
。
分析:一般思路是:平方,移项,孤立根式,再平方,可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程,其难度真不敢想象。然而,可考虑转换选取新变元。
解析:由,设,
那么,
当
点评:虽然经选取变元后的函数简洁明快,可以使人拍案叫绝,但须特别注意到:转化后的函数上没有单调性,故