矩阵的运算与逆矩阵.doc

文档介绍：§ 矩阵的运算
:设有两个矩阵,那么矩阵与的和记作+,规定为
设矩阵,.
规定矩阵的减法为.
:数与矩阵的乘积记作,规定为
由数与矩阵的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律(设为同型矩阵,为数):



:设是一个矩阵,是一个矩
那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵,其中
并把此乘积记作,两矩阵相乘,要求左边距阵的列等于右边矩阵的行,乘积的矩阵的行与左边的行相同,列与右边的列相同。
例3:求矩阵的乘积.
解
从本例可以看出不一定等于,即矩阵乘法不满足交换律
注:若有两个矩阵满足,不能得出的结论,即矩阵乘法不满足消去律.
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律



对单位矩阵,易知
可简记为
:把矩阵的行列交换得到一个新矩阵,叫做的转置矩阵,记作
矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的)




:设是阶方阵,如果满足,:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足,:它的元素以对角线为对称轴对应相反
:由阶矩阵的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为矩阵的行列式,记作或
设,为阶方阵,为数,则有下列等式成立:
例4:设是阶反对称矩阵,是阶对称矩阵,证明:是阶反对称矩阵
证明:
所以结论成立
例5:设是阶方阵,满足,且,求
解:由于
所以,即=0
§
:对于阶矩阵,如果有一个阶矩阵,使,则称矩阵是可逆的,并把称为的逆矩阵。的逆矩阵记为
注意:若可逆,则的逆唯一
设都是的逆矩阵,则一定有
:设是阶方阵, 为行列式的各元素的代数余子式.
记,称为的伴随矩阵.
有行列式的按行(列)展开定理,我们可以证明
:若矩阵是阶方阵,则可逆的充要条件是,且,其中是的伴随矩阵。
证:必要性:可逆,