文档介绍：第一章行列式
余子式和代数余子式的定义
例1行列式第二行第一列元素的代数余子式( )
A. B.
C. D.
测试点余子式和代数余子式的概念
解析,
答案 B
1)
2)
例2 设某阶行列式的第二行元素分别为对应的余子式分别为则此行列式的值为.
测试点行列式按行(列)展开的定理
解
例3 已知行列式的第一列的元素为,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问.
测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.
解因第一列的元素为,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故
所以
1)
2)用数乘行列式的某一行(列)所得新行列式=
3)互换行列式的任意两行(列)所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论
4)如果行列式中两行(列)对应元素成比例,则行列式值为0.
5)行列式可以按任一行(列)拆开.
6)行列式的某一行(列)的倍加到另一行(列)上,所得新行列式与原行列式的值相等.
例4 已知,那么( )
A. B.
C. D.
测试点行列式的性质
解析
答案 B
例5设行列式=1,=2,则=( )
A. B.
D.
测试点行列式的性质
解
故应选 D
答案 D
.
,利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.
,用这一行或一列展开.
.
例6求4阶行列式的值.
测试点行列式的计算
解
例7计算3阶行列式
解
例8 计算行列式:
测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
解
第二章矩阵
一、矩阵的概念
(0矩阵,单位阵,三角阵,对角阵,数量阵)
二、矩阵的运算
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,, ,则下列矩阵运算中有意义的是( )
A. B.
C. D.
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵, ,则=_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解.
例3设矩阵, ,则____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解
比较矩阵运算(包括加、减、数乘、乘法等)的性质与数的运算性质的相同点和不同点(加法的交换律和结合律;乘法关于加法的分配律;)重点是矩阵乘法没有交换律(由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.
(
如果,可能例如都不为零,但.
1)转置的性质
2)若,则称为对称(反对称)阵
例4矩阵为同阶方阵,则=( )
A. B.
C. D.
答案: B
例5设令,试求.
测试点矩阵乘法的一个常用技巧
解因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵,下列矩阵中为反对称矩阵的是( )
A. B.
C. D.
解析故为对称阵.
故为反对称阵.
.
答案 B
例7已知矩阵,为2阶单位矩阵,令求
测试点方阵多项式的概念;
4. 方阵的行列式的性质
例7设为n阶方阵,为实数,则=( )
A. B.
C. D.
答案: C
例8矩阵,则行列式___________.
解析
答案
1)方阵可逆(也称非异,满秩),
.
其中方阵的伴随阵的定义。
特别当时,
重要公式
;; 与的关系
2)重要结论:若n阶方阵满足,则都可逆,且.
3)逆矩阵的性质:
;当时,;;.
4)消去律:设方阵可逆,且,则必有.(若不知可逆,
仅知结论不一定成立。)
矩阵运算时,分快的原则:保证运算能顺利进行(包括分块矩阵和子块的运算)如
;
分快矩阵的运算规则;特别是分快矩阵的转置
准对角阵的逆矩阵: 如果都是可逆阵,则
例9 二阶矩阵,则=( )
A. B.
C. D.
测试点伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵
答案: A
例10 三阶阵,则= _____________.
测试点重要公式.
答案
例11 ,则____________.
解
例12 设为2阶可逆矩阵,且已知,则=( )
A. B.
C. D.
测试点逆矩阵的性质
解由,所以故
答案 D
例13设求.
测试点求逆矩阵的方法
解