文档介绍：线性代数知识点总结
行列式
1.
,
定义 记,,行列式称为行列式的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行或列,行列式变号。
推论 如果行列式有两行(列)完全相同(成比例),则此行列式为零。
性质3 行列式某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式;
推论1 的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到的外面;
推论2 中某一行(列)所有元素为零,则。
性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变。
计算行列式常用方法:①利用定义;②利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。
4. 行列式按行(列)展开
余子式 在阶行列式中,把元素所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元素的余子式,记作。
代数余子式 ,叫做元素的代数余子式。
引理 一个阶行列式,如果其中第行所有元素除(i,j)元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即。
(高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0,保留一个非零元素,降阶)
定理 阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即,,。
矩阵
行列式是数值,矩阵是数表, 各个元素组成
方阵:行数与列数都等于n的矩阵A。记作:An。
行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。
同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。
相等矩阵:AB同型,且对应元素相等。记作:A=B
零矩阵:元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同)
对角阵:不在主对角线上的元素都是零。
单位阵:主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作:E
注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。
2. 矩阵的运算
矩阵的加法
说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。
矩阵加法的运算规律
;
,称为矩阵的
。
数与矩阵相乘
数乘矩阵的运算规律(设为矩阵,为数)
;;。
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵,是一个矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵,其中,,并把此乘积记作
注意
1。A与B能相乘的条件是:A的列数=B的行数。
2。矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
3。对于n阶方阵A和B,若AB=BA,则称A与B是可交换的。
矩阵乘法的运算规律
;
,
若A是n 阶方阵,则称 Ak为A的k次幂,即,并且,
。规定:A0=E (只有方阵才有幂运算)
注意矩阵不满足交换律,即,(但也有例外)
转置矩阵 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作,
;;;。
方阵的行列式 由阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵的行列式,记作
注意 矩阵与行列式是两个不同的概念,n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。
;;
对称阵 设A为n 阶方阵,如果满足A=AT ,那么A称为对称阵。
伴随矩阵 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。
性质 (易忘知识点)
总结
(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。
(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。
(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。
逆矩阵:AB=BA=E,则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵。。
说明
1 A ,B互为逆阵, A = B-1
只对方阵定义逆阵。(只有方阵才有逆矩阵)
,则A的逆矩阵是唯一的。
定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是,并且当A可逆时,有(重要)奇异矩阵与非奇异矩阵 当时,称为奇异矩阵,当时,称为非奇异矩阵。即。
求逆矩阵方法
初等变换的应用:求逆矩阵:。
逆矩阵的运算性质
。
。
。
。
初等行(列)变换
。
。
。
初等列变换:把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把“r”换成“c”。
矩阵等价
行阶梯形矩阵:可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元。(非零行数及矩阵的秩)
R(B)=3
行最简形