线性代数试题.pdf

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一、填空题(本题总计20分,每小题2分)
1、按自然数从小到大为标准次序,则排列(2n)(2n2)2的逆序数为
abcd
dacd
2、设4阶行列式D,则AAAA
4bdca11213141
adcb
1103

3、已知,则*1
A027A

002
4、已知n阶矩阵A、B满足ABBA,则EB1
5、若A为nm矩阵,则齐次线性方程组Ax0只有零解的充分必要条件
是
6、若A为nm矩阵,且R(A)3min{n,m},则齐次线性方程组Ax0的
基础解系中包含解向量的个数为
7、若向量123T与向量11T正交,则
8、若三阶方阵A的特征多项式为AE(1)(1)2,则A


9、设三阶方阵A2、B,已知A6,B1,则AB
11
3
22
10、设向量组,,线性无关,则当常数l满足时,向量
123
组l,,线性无关.
213213
二、选择题(本题总计10分,每小题2分)
1、以下等式正确的是()
A.kabab
kk
kcdcdkckdcd
-1-
C.acbdab

cdcdcdba
2、4阶行列式det(a)中的项aaaa和aaaa的符号分别为()
ij1133442224311342
、、负
、、正
3、设A是mn矩阵,C是n阶可逆阵,满足B=
分别为r和r,则有()
AB
r
ABAB

AB
4、设A是mn矩阵,且R(A)mn,则非齐次线性方程组Axb()


5、已知向量组,,,线性无关,则以下线性无关的向量组是()
1234
A.,,,
12233441
B.,,,
12233441
C.,,,
12233441
D.,,,
12233441
三、计算题(本题总计60分,每小题10分)
11
的特征值和特征向量.
24
111a
0
00a1
1
1阶行列式D
n1
0a01
n1
a0001
n
-2-
010100143
,,,且满足
A100B001C201

001010120
AXBC,求矩阵X.

及此方程组的通解
xxxxx1
12345
3x2xxx3x3
12345
x2x2x6x0
2345
5x4x3x3xx5
12345
12112

11214
,求矩阵A的列向量组的一个最
64224

63979
大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示.
11
,且A2,求A3A*
12
四、证明题(本题总计10分)
设向量组,,,中前n1个向量线性相关,后n1个向量线性无
12n
关,试证:
(1)可由向量组,,,线性表示;
123n1
(2)不能由向量组,,,线性表示.
n12n1
(2)
一、填空题(本题总计16分,每小题2分)
1、按自然数从小到大为标准次序,则排列13(2n1)24(2n)
的逆序数为
-3-
1248
1111
2、4阶行列式D
4141664
1525125
1110

3、已知,*为A的伴随矩阵,则*1
A029AA

002
4、已知n阶方阵A和B满足BAAB,则EB1
5、已知A为mn矩阵,且R(A)rmin{m,n},则以A为系数矩阵的齐次
线性方程组Ax0的基础解系中包含解向量的个数为
6、已知四维列向量2513T、101510T、
12
4111T,且3x2x5x,则x
3123
7、把向量1022T单位化得
8、若三阶方阵A的特征多项式为f()(1)(1)2,则A2E
二、选择题(本题总计14分,每小题2分)
1、已知a,b,c,d,kR,则以下等式正确的是()
A.kabab
kk
kcdcdkckdcd
C.acbdab

cdcdcdba
2、设A和B为n阶方阵,下列说法正确的是()
AC,则B0,则A0或B0
0,则A0或BE0,则AE
3、设A是mn矩阵,且R(A)mn,则非齐次线性方程组Axb()


-4-
4、向量组的秩就是向量组的()


的个数
5、已知n阶方阵A、B和C满足ABC=E,其中E为n阶单位矩阵,
则B1()
1C
1A1
1
6、设A为三阶方阵,A*为A的伴随矩阵,且A,则(4A)13A*
4
()
1616
.
2727
11
.
22
7、已知n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵的秩等于n-3,且
,,是Ax0的三个线性无关的解向量,则Ax0的基础解系可为
123
()
A.,,B.,,
122331312123
C.,,D.,,
122331122331
三、计算题(本题总计60分,1-3每小题8分,4-7每小题9分)

xaaa
axaa
Daaxa
n

aaax
-5-
100

,求21
A110(A2E)(A4E)

111
121010
,,求.
A210B210ABBA

110021

及此方程组的通解
xx5
12
2xxx2x1
1234
5x3x2x2x3
1234
(2,1,1,1)T,(0,3,2,0)T,(2,4,3,1)T的线性
123
相关性。
11222

20112
,求矩阵A的秩及列向量组的一个
11024

21123
最大无关组.
211

,求可逆阵P,使得1为对角阵.
A020PAP

413
四、证明题(本题总计10分)
设为非齐次线性方程组Axb的一个解,,,为对应齐次线性方程
12r
:向量组,,,,线性无关。
12r
-6-