文档介绍：层次分析法建模
学时数:3
专业年级:应用数学专业,4年级。
教学主要内容:掌握在经济发展规划、人才需求预测、政治决策等问题中建立层次分析法模型的方法。
教学目标
层次分析法建模。
教学重点和难点
重点:掌握层次分析法步骤。
难点:层次分析法的计算。
教学方法与教具
教师讲授。
摘要:结合在大学生数学建模竞赛中选拔队员的具体问题,首先介绍层次分析法的基本思想与解法,之后给出具体问题的分析求解过程,并作推广。
一、基础知识
人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中,面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模(AHP),大体上可按下面四个步骤进行:(1)分析系统中各因素间的关系,建立系统的递阶层次结构;(2)对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,构造两两比较的判断矩阵;(3)由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行判断矩阵的一致性检验;(4)计算各层元素对于系统目标的总排序权重,并进行排序。下面分别说明这四个步骤的实现过程。
应用AHP分析决策问题时,首先要把问题条理化、层次化,构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下,复杂问题被分解成元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素人微言轻准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类:(1)最高层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称目标层;(2
)中间层:这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层;(3)最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或方案层。
一个递阶层次结构应具有以下特点:(1)从上到下顺序地存在支配关系,并用直线段表示,同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系;(2)整个结构中层次数不受限制;(3)最高层只有一个元素,每个元素所支配的元素一般不超过9个,元素过多时可进一步分组;(4)对某些具有子层次的结构可引入虚元素,使之成为递阶层次结构。
假定以上一层次的元素C为准则,所支配的下一层次的元素为,我们的目的是要按它们对准则C的相对重要性赋予相应的权重。AHP所用的导出权重的方法就是两两比较的方法。
该方法的要点是按1-9的比例标度对重要性程度赋值以确定哪一个更重要。这样对于准则C,n个被比较元素通过两两比较构成一个判断矩阵。,其中就是元素与相对于准则C的重要性的比例标度。称为正互反矩阵。当式对的所有元素成立时,判断矩阵称为一致性矩阵。
,以及判断矩阵一致性检验
这里我们要根据n个元素对于准则C的判断矩阵求出它们对于准则C的相对排序权重,相对权重写成向量形式,即。这里要解决两个问题:
[1]权重计算方法
特征根方法:设是n阶判断矩阵的排序权重
向量,当为一致性矩阵时,显然有
,因而满足,这里是的最大特征根,是相应的特征向量,经归一化后就可近似作为排序权重向量。
[2]一致性检验
在判断矩阵