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一、基本目标
【知识与技术】
理解并掌握圆的旋转不变性,圆心角、弧、弦之间的关系定理.
【过程与方法】
经过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,学****圆心角、弧、弦之间的关系定理.
【感情态度与价值观】
经过研究圆心角、弧、弦之间的关系,培育研究精神,领悟分类谈论思想在数学中的应用.
二、重难点目标
【教课要点】
圆心角、弧、弦之间的关系定理及其应用.
【教课难点】
圆心角、弧、弦之间的关系定理的研究和证明.
环节1自学纲要,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P83~P85的内容,完成下边练****br/>【3min反响】
,__圆心__就是它的对称中心;把圆绕圆心旋转一个角度,所得的图
形与原图形__重合__.
.
3.(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧__相等__,所对的弦也__相等__.
(2)在同圆或等圆中,假如两条弧相等,那么它们所对的圆心角__相等__,所对的弦__相等
__.
(3)假如两条弦相等,那么它们所对的圆心角__相等__,所对的优弧和劣弧分别__相等__.
,在⊙O中,AB、CD是两条弦,若∠AOB=∠COD,则__AB=CD,AB=CD__;
若AB=CD,则__∠AOB=∠COD,AB=CD____;
若AB=CD,则__∠AOB=∠COD,AB=CD__.
环节2合作研究,解决问题
【活动1】小组谈论(师生互学)
【例1】以下列图,A、B、C是⊙O上三点,∠AOB=120°,C是AB的中点,试判断四边形
OACB的形状,并说明原由.
【互动研究】(引起学生思虑)由∠AOB=120°,C是AB的中点,可想到连结OC,则结合弧、
圆心角之间的关系可以知道什么?又同圆中半径相等,可以猜想出四边形OACB的形状是什么?
【解答】四边形OACB是菱形.
原由以下:如图,连结OC.
︵
∵∠AOB=120°,C是AB的中点,
1
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.
又∵CO=BO,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC.
同理可得,△OCA是等边三角形,∴OA=AC.
又∵OA=OB,∴OA=AC=BC=BO,
∴四边形OACB是菱形.
【互动总结】(学生总结,老师评论)解此类题时,由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理,作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题.
【活动2】牢固练****学生独学)
,在⊙O中,已知AB=CD,则AC与BD的关系是(A)
=<BD
>
,AB是⊙O的直径,BC、CD、DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,求∠BOD的度数.
解:∵BC、CD、DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,∴∠AOD=∠DOC=∠∵AB
2
是⊙O的直径,∴∠BOD=×180°=120°.
,在⊙O中,弦AB=CD,那么∠AOC和∠BOD相等吗?请说明原由.
解:∠AOC=∠:∵在⊙O中,AB=CD,∴∠AOB=∠COD,∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB,∴∠AOC=∠BOD.
【活动3】拓展延伸(学生对学)
【例2】如图,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB.
︵︵
求证:AD=BD.
︵
︵
,可以转变成
【互动研究】(引起学生思虑)求证AD=BD,由弧、弦、圆心角的关系定理
证明什么?转变后的结论又应该如何证明?
【证明】如图,连结OC、OD.
AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,∴OM=ON.
CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠OMC=∠OND=90°.
OC=OD,
在Rt△OMC和Rt△OND中,∵
OM=ON,
Rt△OMC≌Rt△OND(HL),
︵
∴∠COM=∠DON,∴AD=BD.
【互动总结】(学生总结,老师评论)在同圆或等圆中,假如两条弧(一般同为优弧或劣弧)、
两条弦、两个圆心角中有一组量相等,那么它们所对应的其他各组量都分别相等.
【例3】如图,⊙O中,已知∠AOB=2∠COD,求证:2CD>AB.
【互动研究】(引起学生思虑)求证2CD>AB,是比较AB与2CD的大小,而题中没有线段
长是2CD,没法直接比较,这就需要将2CD进行转变或构造2CD,∠AOB=2∠COD,由弧、弦、圆心角之间的关系定理,想如何将2CD进行转变或构造2CD,再想比较两边大小时的方法有哪些.
【证明】如图,过点O作OE⊥AB交⊙O于点E,连结AE、BE,∴AE=BE,
∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB.
又∵∠AOB=2∠COD,
∴∠AOE=∠BOE=∠COD,
AE=BE=CD.
∵在△ABE中,AE+BE>AB,
2CD>AB.
【互动总结】(学生总结,老师评论)解此类题时,要注意解析题中的已知条件,结合问题将条件进行转变,∠AOB=2∠COD利用垂径定理将角均分,从而将问题转变成三角形三边关系问题,从而得证.
环节3课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师评论)
圆是中心对称图形
弧、弦、
圆心角
圆心角
弧、弦、圆心角的关系
请完成本课时对应练****