圆与方程圆方程典型例题.doc

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圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程--圆的方程典型例题
种类一:圆的方程
例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y
0上的圆的标准方程并判断点
P(2,4)与圆的关
系.
分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,
而要判断点P与圆的地点关系,
只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系,
若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,
则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.
解法一:(待定系数法)
设圆的标准方程为(xa)2
(yb)2
r2.
∵圆心在y0上,故b0.
∴圆的方程为(x
a)2
y2
r2.
又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.
∴
(1
a)2
16
r2
(3
a)2
4
r2
解之得:a
1
,r2
20.
所以所求圆的方程为
(x
1)2
y2
20.
解法二:(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过A(1,4)
、B(3,2)两点,所以圆心
C必在线段AB的垂直均分线
l上,又因为
4
2
1
l的斜率为
1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直均分线
l的方程为:
kAB
3
,故
1
y3x
2即x
y
10.
又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C(1,0)
∴半径rAC
(1
1)2
42
20.
故所求圆的方程为
(x
1)2
y2
20.
又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为
dPC(21)24225r.
∴点P在圆外.
说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都环绕着求圆的圆心和半径这两个重点的量,此后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判断点与圆的地点关系,若将点换成直线又该怎样
来判断直线与圆的地点关系呢?
例2
求半径为4,与圆x2
y2
4x
2y
4
0相切,且和直线
y
0相切的圆的方程.
分析:依据问题的特点,宜用圆的标准方程求解.
解:则题意,设所求圆的方程为圆
C:(x
a)2
(yb)2
r2.
圆C与直线y
0相切,且半径为
4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,
4)
.
又已知圆x2
y2
4x
2y
4
0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.
若两圆相切,则
CA
4
3
7或CA
4
3
1.
(1)当C1(a,4)时,(a
2)2
(41)2
72
,或(a
2)2
(4
1)2
12
(无解),故可得
a
2210.
∴所求圆方程为
(x
2
2
10)2
(y
4)2
42,或(x2
210)2
(y
4)2
42.
(2)当C2(a,
4)
时,(a
2)2
(
4
1)2
72,或(a
2)2
(4
1)2
12(无解),故
a
226.
∴所求圆的方程为(x226)2(y4)242,或(x226)2(y4)242.
说明:对本题,易发生以下误会:
由题意,所求圆与直线y0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a,4),且方程形如
(xa)2
(y4)2
42
.又圆x
2
y2
4x
2y4
0
,即
(x
2)2
(y
1)2
32
,其圆心为
A(2,1),半径为
,则CA
4
(a
2)2
(4
1)2
72,解之得a

以欲求圆的方程为
(x
2210)
2
(y
4)2
42,或(x
2
210)2
(y
4)2
42.
上述误会只考虑了圆心在直线y0上方的情况,,误
.
例3求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.
分析:,因为所求圆过定点A,,故圆心必在它们的交角的均分线上.
解:∵圆和直线x2y0与2xy0相切,
∴圆心C在这两条直线的交角均分线上,
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等.
x2yx2y
∴.
55
∴两直线交角的均分线方程是x3y0或3xy0.
又∵圆过点A(0,5),
∴圆心C只幸好直线
3x
y
0
上.
设圆心C(t,3t)
∵C到直线2x
y
0的距离等于AC,
2t
3t
t2
(3t
5)2
∴
5
.
化简整理得t2
6t
5
0.
解得:
t1
t
5
或
∴圆心是(1,3),半径为
5
或圆心是(5,15),半径为5
5.
∴所求圆的方程为
(x1)2
(y
3)2
5或(x5)2
(y
15)2
125.
说明:本题解决的重点是分析获得圆心在已知两直线的交角均分线上,从而确立圆心坐标获得圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常例求法.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
例4、设圆知足:

(1)截

y轴所得弦长为

2;(2)被x轴分红两段弧,其弧长的比为

3:1,在知足条件
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
(1)(2)的全部圆中,求圆心到直线

l:x

2y

0的距离最小的圆的方程.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,,其圆心的会合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,即可利用点到直线的距离公式,经过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,从而确立圆的半径,求出圆的方程.
解法一:设圆心为P(a,b),半径为r.
则P到x轴、y轴的距离分别为b和a.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
由题设知:圆截

x轴所得劣弧所对的圆心角为

90

,故圆截

x轴所得弦长为

2r

.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
∴r2

2b2
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
又圆截

y轴所得弦长为

2.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
∴r2
a
2
1.
又∵P(a
,b)到直线x2y
0的距离为
a
2b
d
5
∴5d2
a
2
2b
a2
4b2
4ab
a2
4b2
2(a2
b2)
2b2
a2
1
当且仅当a
5
b时取“=”号,此时dmin
.
5
这时有
a
b
2b2
a2
1
a
1
a
1
∴
或
b
1
b
1
又r2
2b2
2
故所求圆的方程为
(x1)2
(y1)2
2或(x
1)2
(y1)2
2
解法二:同解法一,得
d
a
2b
.
5
∴a
2b
5d.
∴a2
4b2
4
5bd
5d2.
将a2
2b2
1代入上式得:
2b2
4
5bd
5d
2
10.
上述方程有实根,故
8(5d2
1)
0
,
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
∴d
5
.
5
将d
5
b
1.
代入方程得
5
又2b2
a21
∴a1.
由
a
2b1
b
同号.
知a、
故所求圆的方程为
(x
1)2
(y1)2
2或(x1)2
(y1)2
2.
说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢?
种类二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5
已知圆O:x2
y2
4,求过点P2,4
与圆O相切的切线.
解:∵点P2,4
不在圆O上,
∴切线PT的直线方程可设为ykx24
依据dr
∴
2k
4
2
1
k2
解得
k
3
4
所以
3
x
2
4
y
4
即
3x
4y
10
0
因为过圆外一点作圆得切线应当有两条,
x2.
说明:上述解题过程简单漏解斜率不存在的情况,要注意补回遗漏的解.
本题还有其余解法,比方把所设的切线方程代入圆方程,用鉴别式等于
0解决(也要注意漏
解).还能够够运用x0x
y0yr2,求出切点坐标
x0、y0的值来解决,此时没有漏解.
例6两圆C1:x2
y2
D1xE1yF1
0与C2:x2
y2
D2xE2y
F20订交于A、B两
点,求它们的公共弦
AB所在直线的方程.
分析:第一求A、B两点的坐标,再用两点式求直线
AB的方程,但是求两圆交点坐标的过程
,能够采纳“设而不求”的技巧.
解:设两圆C1、C2的任一交点坐标为
(x0,y0),则有:
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
x02
y02
D1x0
E1y0
F1
0
x2
y2
Dx
Ey
F
2
0
0
0
2
0
2
0

①
②
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
①-②得:(D1D2)x0
(E1
E2)y0
F1
F20.
∵A、B的坐标知足方程
(D1
D2)x
(E1
E2)yF1F2
0.
∴方程(D1D2)x(E1
E2)y
F1
F2
0是过A、B两点的直线方程.
又过A、B两点的直线是独一的.
∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1D2)x
(E1E2)yF1F20.
说明:上述解法中,奇妙地避开了求
A、B两点的坐标,固然设出了它们的坐标,但并无去
求它,,这是一种“设而不求”的技巧,从知识内容的角度上说,.
例7、过圆x2y21外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。
练****br/>(3,1),且与圆(x
1)2
y2
4相切的直线l
的方程.
解:设切线方程为
y1k(x
3),即kx
y
3k
10,
∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径
2,
∴|k3k
1|
2,解得k
3
,
2
2
4
k
1
∴切线方程为y
1
3(x
3),即3x
4y
13
0,
4
当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为
x
3,圆心
(1,0)到此直线的距离等于半径
2,
故直线x3
也合适题意。
所以,所求的直线
l的方程是3x4y
13
0或x
3.
2、过坐标原点且与圆
x2
y2
4x
2y
5
0相切的直线的方程为
2
(y1)25
解:设直线方程为
y
kx,即kx
y
0.∵圆方程可化为
(x2)2
,∴圆心为(
2,
2
-1),半径为
10
.依题意有
2k
1
10,解得k
3或k
1,∴直线方程为
y3x或
k2
2
1
2
3
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
y
1x.
3
3、已知直线5x
12y
a0与圆x
2
2xy2
0相切,则a的值为
.
解:∵圆(x1)2
y2
1的圆心为(
1,0),半径为
1,∴
5
a
1,解得a
8或a18.
52
122
种类三:弦长、弧问题
例8、求直线l:3xy6
0被圆C:x2
y2
2x4y0截得的弦AB的长.
例9、直线3xy
23
0截圆x2
y2
4得的劣弧所对的圆心角为
解:依题意得,弦心距
d
3,故弦长AB
2r2
d2
2,从而△OAB是等边三角形,故截
得的劣弧所对的圆心角为
AOB.
3
例10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长
种类四:直线与圆的地点关系
例11、已知直线3xy23
0和圆x2
y2
4,判断此直线与已知圆的地点关系.
例12、若直线
y
x
m与曲线y
4x2
有且只有一个公共点,务实数
m的取值范围.
解:∵曲线y
4
x2
表示半圆x2
y2
4(y
0)
,∴利用数形联合法,可得实数
m的取值范
围是2m
2
或m
22.
例13圆(x
3)2
(y
3)2
9上到直线3x
4y
11
0的距离为
1的点有几个?
分析:
l1、l2的方程,从代数计算中找寻解答.
解法一:圆(x3)2
(y
3)2
9的圆心为O1(3,3),半径r
3.
设圆心O1到直线
3x
4y
3
3
4
3
11
110的距离为d,则d
32
42
23
.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
如图,在圆心O1同侧,与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,这两
个交点符合题意.
rd321.
∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
∴符合题意的点共有

3个.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
解法二:符合题意的点是平行于直线

3x

4y

11

0,且与之距离为


圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
所求直线为3x
4y
m
0
,则d
m
11
1,
32
42
∴m
11
5,即m
6,或m
16,也即
l1:3x4y
60,或l2:3x4y160.
设圆
(
3)2
(
y
3)2
9
的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2,则
O1:x
d1
3
3
4
3
6
3
3
4
3
16
32
42
3,d2
32
42
1.
∴l1与O1相切,与圆O1有一个公共点;
l2与圆O1订交,
点共3个.
说明:对于本题,若不留意,则易发生以下误会:
设圆心O1到直线3x
4y
3
3
4
3
11
110的距离为d,则d
32
23.
42
∴圆O1到3x4y
11
0距离为1的点有两个.
明显,上述误会中的
d是圆心到直线3x4y
110的距离,d
r,只好说明此直线与圆有
两个交点,而不可以够说明圆上有两点到此直线的距离为
1.
到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,,一般依据圆与直线的地点关系来判断,即依据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
练****1:直线x
y
1与圆x2
y2
2ay
0(a
0)没有公共点,则
a的取值范围是
a
1
a,解得
2
1
a
2
1.∵a
0,∴0a
21.
解:依题意有
2
练****br/>2:若直线
y
kx
2与圆(x
2)2
(y
3)2
1有两个不同样的交点,则
k的取值范围
是
.
2k
1
,解得0
k
4
,∴k的取值范围是(0,4).
解:依题意有
k2
1
1
3
3
3、
圆x2
y2
2x
4y
3
0
上到直线xy1
0的距离为
2的点共有(
).
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
剖析:把x2
y2
2x
4y
30化为x12
y22
8,圆心为1,2,半径为
r
22,圆心到直线的距离为
2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于
2,所以选C.
4、过点P3,4作直线l,当斜率为何值时,直线l与圆C:x12y224有公共点,如
图所示.
分析:察看动画演示,分析思路.
解:设直线l的方程为y
y4kx3
即
O
x
kx
y
3k
40
依据d
r有
E
k
2
3k
4
2
2
1
k
P
整理得
3k2
4k
0
解得
4
0k.
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
3
圆与方程圆的方程典型例题
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圆与方程圆的方程典型例题
种类五:圆与圆的地点关系
问题导学四:圆与圆地点关系怎样确立?
例14、判断圆C1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40的地点关系,
例15:圆x2
y2
2x
0和圆x2
y2
4y
0
的公切线共有
条。
解:∵圆(x
1)2
y2
1的圆心为
O(1,0)
,半径r
1
1,圆x2
(y
2)2
4的圆心为
O2(0,2)
,
1
半径r2
2,∴O1O2
5,r1
r2
3,r2
r1
1.∵r2
r1
O1O2
r1
r2,∴
条公切线。
练****br/>1:若圆x2
y2
2mx
m2
4
0与圆x2
y2
2x
4my
4m2
8
0相切,则实数m的取
值会合是
.
解:∵圆(x
m)2
y2
4的圆心为O1(m,0),半径r1
2,圆(x
1)2
(y2m)2
9的圆心为
O2(1,2m)
,半径r2
3
,且两圆相切,∴O1O2
r1
r2
或O1O2
r2
r1
,∴
(m
1)2
(2m)2
5或(m
1)2
(2m)2
1,解得m
12或m
2,或m
0或m
5,
12
5,0,2}.
5
2
∴实数m的取值会合是{
,
5
2
2:求与圆x2
y2
5
外切于点P(
1,2),且半径为2
5的圆的方程.
解:设所求圆的圆心为
O1(a,b),则所求圆的方程为
(x
a)2
(y
b)2
20.∵两圆外切于点
P,
∴OP
1OO1,∴(
1,2)
1(a,b),∴a
3,b
6,∴所求圆的方程为
(x3)2
(y
6)2
20.
3
3
种类六:圆中的对称问题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
例16、圆

x2

y2

2x

6y

9

0

对于直线

2x

y5

0对称的圆的方程是
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题
圆与方程圆的方程典型例题