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圆锥曲线高考题汇编带分析
圆锥曲线高考题汇编带分析
第八章圆锥曲线方程
●考点阐释
圆锥曲线是分析几何的要点内容,这部分内容的特色是:
(1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求娴熟掌握并能灵巧应用.
2)、不等式、三角及直线等内容,表现了对各样能力的综合
要求.
3).
●试题类编
一、选择题
1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大概是()
2.(2003京春理,7)椭圆
x
45cos
(
为参数)的焦点坐标为(
)
y
3sin
A.(0,0),(0,-8)
B.(0,0),(-8,0)
C.(0,0),(0,8)
D.(0,0),(8,0)
3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F、F,
F
1P
到Q,使得|PQ|=|PF
|,
1
2
2
那么动点Q的轨迹是(
)
4.(2002全国文,7)椭圆
5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于(
)
A.-1
C.
5
D.-5
5.(2002全国文,11)设θ∈(0,
),则二次曲线
x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围为(
)
4
A.(0,1)
B.(1,
2)
2
2
2
C.(
2,2)
D.(
2
,+∞)
2
x2
y2
x2
y2
6.(2002北京文,10)已知椭圆
3m2
5n2
和双曲线
2m2
3n2=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方
程是(
)
x=±
=±
y
y
4
=±
=±
x
x
4
圆锥曲线高考题汇编带分析
圆锥曲线高考题汇编带分析
圆锥曲线高考题汇编带分析
7.(2002天津理,1)曲线
x
cos
y
(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(
)
sin
A.
1
2
B.
2
2
圆锥曲线高考题汇编带分析
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圆锥曲线高考题汇编带分析
8.(2002全国理,6)点P(1,0)到曲线
x
t2
y
(此中参数t∈R)上的点的最短距离为(
)
2t
C.
2
9.(2001全国,7)若椭圆经过原点,且焦点为
F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为(
)
A.
3
B.
2
C.
1
D.
1
4
3
2
4
10.(2001广东、河南,10)对于抛物线y2=4x上随意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围
是(
)
A.(-∞,0)
B.(-∞,2]
C.[0,2]
D.(0,2)
11.(2000京皖春,9)椭圆短轴长是
2,长轴是短轴的
2倍,则椭圆中心到其准线距离是(
)
A.
3
B.
4
5
C.
83
D.
4
3
4
5
5
3
12.(2000全国,11)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F用向来线交抛物线于
P、Q两点,若线段PF与FQ的
长分别是p、q,则1
1
等于(
)
p
q
B.
1
D.
4
2a
a
x2
y2
13.(2000京皖春,3)双曲线b2
a2=1的两条渐近线相互垂直,那么该双曲线的离心率是(
)
B.
3
C.
2
D.
3
2
14.(2000上海春,13)抛物线y=-x2的焦点坐标为(
)
A.(0,1)
B.(0,-1)
4
4
C.(1,0)
D.(-1,0)
4
4
15.(2000上海春,14)x=
13y2
表示的曲线是(
)
16.(1999上海理,14)以下以t为参数的参数方程所表示的曲线中,
与xy=1所表示的曲线完整一致的是
(
)
1
x
|t|
x
t2
A.
B.
1
1
y
y
t2
|t|
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x
cost
D.
x
tant
C.
sect
y
cott
y
x2
y2
1
和
2
1
的中点在y
轴上,那
17.(1998全国理,2)椭圆
=1的焦点为
F
F,点
PF
12
3
么|PF1|是|PF
2|的(
)
x2
y2
F1,,
18.(1998全国文,12)椭圆
=1的一个焦点为
12
3
那么点M的纵坐标是(
)
3
3
C.±
2
3
A.±
B.±
2
D.±
4
2
4
(x3)2
(y
2)
2
)
19.(1997全国,11)椭圆C与椭圆
4
,对于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是(
9
(x2)
2
(y3)
2
(x2)2
(y3)
2
1
A.
9
1
B.
4
9
4
(x2)
2
(y3)
2
(x2)2
(y3)
2
1
C.
4
1
D.
4
9
9
20.(1997
x
1
1
(t是参数,t≠0),它的一般方程是(
全国理,9)曲线的参数方程是
t
)
y
1
t2
A.(x-1)2(y-1)=1
=x(x
2)
(1
x)2
=
1
1
=
x
+1
x)2
1
(1
x2
21.(1997上海)设
θ
3π,π),则对于x、y的方程x2
θ
2θ
)
∈(
csc
-ysec=1所表示的曲线是(
4
22.(1997上海)设k>1,则对于
x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是(
)
23.(1996全国文,9)中心在原点,准线方程为
x=±4,离心率为
1的椭圆方程是(
)
2
x2
y2
x2
y2
=1
A.
=1
B.
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4334
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C.
x2
y2
+y2=1
+
=1
4
4
x2
y2
=1绕其左焦点按逆时针方向旋转
90°,所得椭圆方程是(
)
24.(1996上海,5)将椭圆
9
25
A.
(x4)2
(y4)2
1
B.
(x4)2
(y4)
2
25
9
25
9
1
C.
(x4)2
(y4)2
1
D.
(x4)2
(y4)
2
9
25
9
25
1
25.(1996上海理,6)若函数f(x)、g(x)的定义域和值域都为
R,则f(x)>g(x)(x∈R)成立的充要条
件是(
)
∈R,使f(x)>g(x)
∈R,使得f(x)>g(x)
,都有f(x)>g(x)+1
,使得f(x)≤g(x)
x
3
3cos
的两个焦点坐标是(
)
26.(1996全国理,7)椭圆
1
5sin
y
A.(-3,5),(-3,-3)
B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)
D.(7,-1),(-1,-1)
27.(1996全国文,11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(
)
A.(-3,5),(-3,3)
B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)
D.(7,-1),(-1,-1)
x2
y2
28.(1996全国)设双曲线
a2
b2=1(0<a<b)的半焦距为
c,直线l过(a,0),(0,b)
直线l的距离为
3
)
c,则双曲线的离心率为(
4
B.
3
C.
2
D.
2
3
3
29.(1996上海理,7)若θ∈[0,
],则椭圆x2+2y2-22
xcosθ+4ysinθ=0的中心的轨迹是(
)
2
30.(1995全国文6,理8)双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是(
)
=±3x
=±
1
x
3
=±3
x
=±
3x
3
31.(1994全国,2)假如方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数
k的取值范围是(
)
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
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32.(1994全国,8)设F1和F2为双曲线
x2
的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠
F1PF2=90°,
y2=1
4
则△F1PF2的面积是(
)
5
D.
5
B.
2
33.(1994上海,17)设a、b是平面α外随意两条线段,则“
a、b的长相等”是a、b
在平面α内的射影长相等的(
)
34.(1994上海,19)在直角坐标系
xOy中,曲线C的方程是y=cosx,此刻平移坐标系,把原点移到O′(
,
2
-),则在座标系x′O′y′中,曲线C的方程是()
2
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圆锥曲线高考题汇编带分析
′=sinx′+
′=-sinx′+
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圆锥曲线高考题汇编带分析
2
2
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圆锥曲线高考题汇编带分析
′=sinx′-
′=-sinx′-
2
2
二、填空题
x2
y2
35.(2003京春,16)如图8—1,F1、F2分别为椭圆a2
b2=1的左、右焦点,点
P在
椭圆上,△POF2是面积为
3的正三角形,则b2的值是_____.
36.(2003上海春,4)直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是
_____.
图8—1
37.(2002上海春,2)若椭圆的两个焦点坐标为
F1(-1,0),F2(5,0),长轴的长为
10,则椭圆的方程为
.
38.(2002京皖春,13)若双曲线
x2
y2
3
x,则双曲线的焦点坐标是
.
4
=1的渐近线方程为y=±
m
2
39.(2002全国文,16)对于极点在原点的抛物线,给出以下条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为
1的点到焦点的距离等于
6;
④抛物线的通径的长为
5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这抛物线方程为
y2=10x的条件是
.(要求填写适合条件的序号)
40.(2002上海文,8)抛物线(y-1)2=4(x-1)的焦点坐标是
.
41.(2002天津理,14)椭圆5x2-ky2=5的一个焦点是(
0,2),那么k=
.
x
t2
1
42.(2002上海理,8)曲线
2t
(t为参数)的焦点坐标是_____.
y
1
43.(2001京皖春,14)椭圆x2+4y2=4长轴上一个极点为
A,以A为直角极点作一个内接于椭圆的等腰直角
三角形,该三角形的面积是
.
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x2
y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点
M的轨
44.(2001上海,3)设P为双曲线
4
迹方程是
.
45.(2001上海,5)抛物线x2-4y-3=0的焦点坐标为
.
x2
y2
1
2
,点P在双曲线上,若
1
2
46.(2001全国,14)双曲线
=1的两个焦点为
F
、F
PF
⊥PF,则点P到x
9
16
轴的距离为
.
47.(2001上海春,5)若双曲线的一个极点坐标为(
3,0),焦距为10,则它的标准方程为_____.
48.(2001上海理,10)直线y=2x-
x
sin
_____.
1与曲线
cos2
(
为参数)的交点坐标是
2
y
x2
y2
=1
的焦点为
1
2
12
为钝角时,点P横
49.(2000全国,14)椭圆
4
F、F,点P为其上的动点,当∠
FPF
9
坐标的取值范围是_____.
50.(2000上海文,3)圆锥曲线
(x
1)2
y2
=1的焦点坐标是_____.
9
4sec1
51.(2000上海理,3)圆锥曲线的焦点坐标是_____.
y
3tan
x2
y2
=1(a>b>0)的右焦点为F,右准线为l,若过F
且垂直于x轴的弦
52.(1999全国,15)设椭圆2
2
a
b
1
1
1
的长等于点F1
到l1的距离,则椭圆的离心率是
.
53.(1999
上海5)若平移坐标系,将曲线方程
y2+4x-4y-4=0化为标准方程,则坐标原点应移到点
O′
().
x2
y2
=1的一个极点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线
54.(1998全国,16)设圆过双曲线
16
9
中心的距离是
.
55.(1997全国文,17)已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点,那么线段
AB的中点坐标是_____.
x
5cos
(θ为参数)的左焦点坐标是
_____.
56.(1997上海)二次曲线
3sin
y
57.(1996上海,16)平移坐标轴将抛物线4x2-8x+y+5=0化为标准方程x′2=ay′(a≠0),则新坐标系的
原点在原坐标系中的坐标是
.
58.(1996全国文,16
)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=_____.
59.(1996
全国理,16
)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则
p=_____.
60.(1995
全国理,19
)直线L过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若L被抛物线截得的
线段长为
4,则a=
.
61.(1995
全国文,19
)若直线L过抛物线y2=4(x+1)的焦点,并且与x轴垂直,则
L被抛物线截得的线段
长为
.
x
sin
62.(1995上海,15)把参数方程
(α是参数)化为一般方程,结果是
.
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ycos1
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x2
8y2
.
63.(1995上海,10)双曲线
=8的渐近线方程是
2
9
64.(1995
上海,14)到点A(-1,0)和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是
.
65.(1994
全国,17)抛物线y2=8-4x的准线方程是
,圆心在该抛物线的极点且与其准线相切的圆的方
程是
.
66.(1994
y2
-x2=1的两个焦点的坐标是
.
上海,7)双曲线
2
三、解答题
67.(2003上海春,21)设F、F
x2
8y2
=1(a>b>0)的左、右两个焦点.
分别为椭圆C:
1
2
a2
b2
(1)若椭圆C上的点A(1,
3
4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
)到F1、F2两点的距离之和等于
2
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段
F1
K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆拥有性质:若
M、N是椭圆C上对于原点对称的两个点,点
P是椭圆上随意一点,当直线
PM、
PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,
x
2
y2
1写出拥有近似特征的性质,并加以证明.
线
2
b2
a
68.(2002
上海春,18)如图
8—2,已知
1
2
x2
y2
1
(a>0,b>0)的
F
、F
为双曲线
2
b2
a
焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点
P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.
69.(2002
京皖文,理,22)已知某椭圆的焦点是
F(-4,0)、F(4,0),过点F
图8—2
并垂
1
2
2
直于x轴的直线与椭圆的一个交点为
B,且|F1B|+|F
2
B|=(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件:
|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标;
(Ⅲ)设弦AC的垂直均分线的方程为
y=kx+m,求m的取值范围.
70.(2002全国理,19)设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为
2m,到x轴、
的取值范围.
71.(2002北京,21)已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△
8—3.
(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G、F、H三点共线;
(Ⅱ)当直线FH与OB平行时,求极点C的轨迹.
y2
72.(2002江苏,20)设A、B是双曲线x2
=1上的两点,点N(1,2)是线段AB
图8—3
2
的中点.
(Ⅰ)求直线
AB的方程;
(Ⅱ)假如线段
AB的垂直均分线与双曲线订交于
C、D两点,那么A、B、C、D四点能否共圆,为何
?
73.(2002上海,18)已知点A(
3,0)和B(3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为
2,
点C的轨迹与直线
y=x-2
交于D、E两点,求线段
DE的长.
74.(2001京皖春,22
)已知抛物线
y2=2px(p>0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不
同的两点A、B,|AB|≤2p.
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(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)若线段AB的垂直均分线交
x轴于点N,求△NAB面积的最大值.
75.(2001上海文,理,
1
、F
2
为椭圆
x2
y2
1
2
18)设F
9
=1的两个焦点,
P、F、F
4
是一个直角三角形的三个极点,且|PF1
2
|PF1
|的值.
|>|PF|,求
|PF2
|
76.(2001全国文20,理19)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于
A、B两点,
点C在抛物线的准线上,且
BC∥.
y2
b2
≤1,过点P的直线
77.(2001上海春,21)已知椭圆C的方程为x2+
=1,点P(a,b)的坐标满足a2+
2
2
l与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点,求:
(1)点Q的轨迹方程;
(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
78.(2001广东河南21)已知椭圆
x2
+y2=1的右准线l与x轴订交于点E,过椭圆右焦点
F的直线与椭圆订交
2
A、B两点,点C在右准线l上,且BC∥:直线AC经过线段EF的中点.
(y1)2
(x1)
2
79.(2000上海春,22)如图8—4所示,A、F分别是椭圆
12
=1的一个
16
极点与一个焦点,位于
x轴的正半轴上的动点
T(t,0)与F的连线交射影
:
1)点A、F的坐标及直线TQ的方程;
2)△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f(t)及其函数的最小值;
图8—4
(3)写出
S=f(t)的单一递加区间,并证明之.
80.(2000
京皖春,23)如图8—5,设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点之外的两个动点,已知
OA⊥
OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
81.(2000全国理,22)如图8—6,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为λ,双
曲线过C、D、E三点,且以A、
≤λ≤3
时,求双曲线离心率e的取值范围.
3
4
图8—5
图8—6
图8—7
82.(2000
全国文,22)如图8—7,已知梯形
ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为
8,双
11
曲线过C、D、E三点,且以A、.
83.(2000上海,17)已知椭圆C的焦点分别为F1(22,0)和F2(22,0),长轴长为6,设直线y=x+2
交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.
84.(1999全国,24)如图8—8,给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=-
上的动点,∠,并谈论方程表示的曲线种类
a值的关系.
注:文科题设还有条件a≠1
圆锥曲线高考题汇编带分析
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8—8
圆锥曲线高考题汇编带分析
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85.(1999上海,22)设椭圆C1的方程为
x2
y2
=1(a>b>0),曲线C2的方程为y=
1
a2
b2
,且C1与C2在第一
x
象限内只有一个公共点
P.
(Ⅰ)试用a表示点P的坐标.
(Ⅱ)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当
a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;
(Ⅲ)设min{y1,y2,⋯,yn}为y1,y2,⋯,(a)是以椭圆C1
的半焦距为边长的正方
形的面积,求函数f(a)=min{g(a),S(a)}的表达式.
86.(1998全国理,24)设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行挪动
t、s单位长度后得曲
线C1.
(Ⅰ)写出曲线
C1的方程;
(Ⅱ)证明曲线C与C1对于点A(t,s)对称;
22
(Ⅲ)假如曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明
t3
s=
-t且t≠0.
4
87.(1998全国文22,理21)如图8—9,直线l
和l
订交于点M,l
⊥l,点N
∈
1
2
1
2
1
A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点
N的距离相等
.若△AMN为锐
角三
角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=,求曲线段
C的方程.
88.(1998上海理,20)(1)动直线y=a与抛物线y2=
1
(x-2)订交于A点,
动点B
2
图8—9
的坐标是(0,3a),求线段AB中点M的轨迹C的方程;
2)过点D(2,0)的直线l交上述轨迹C于P、Q两点,E点坐标是(1,0),若△EPQ的面积为4,求直
l的倾斜角α的值.
89.(1997上海)抛物线方程为y2=p(x+1)(p>0),直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.
1)求证:直线与抛物线总有两个交点;
2)设直线与抛物线的交点为Q、R,OQ⊥OR,求p对于m的函数f(m)的表达式;
(3)(文)在(2)的条件下,若抛物线焦点
F到直线x+y=m的距离为
2,求此直线的方程;
2
(理)在(2)的条件下,若m变化,使得原点
O到直线QR的距离不大于
2,求p的值的范围.
2
90.(1996全国理,24)已知l1、l2是过点P(-
2,0)的两条相互垂直的直线,且
l1、l2与双曲线y2-x2=
1各有两个交点,分别为
A1、B1和A2、B2.
(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围;
(Ⅱ)(理)若|A1B1
|=5|A2B2|,求l
1、l2
的方程.
(文)若A1正是双曲线的一个极点,求
|A2B2|的值.
91.(1996上海,23)已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点,且与以点
A(
2,0)为
圆心,1为半径的圆相切,双曲线S的一个极点A′与点A对于直线y=,斜率为k.
(1)求双曲线S的方程;
图8—10
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(2)当k=1时,在双曲线S的上支上求点
B,使其与直线
l的距离为
2;
(3)当0≤k<1时,若双曲线S的上支上有且只有一个点
B到直线l的距离为
2,求斜率k的值及相应的点
B的坐标,如图
8—10.
92.(1995
全国理,26)已知椭圆如图
8—11,
x2
y2
=1,直线L:
x
y
=1,P
16
12
8
24
是L上一点,射线
OP交椭圆于点
R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|
上挪动时,求点
Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
x2
y2
图8—11
93.(1995
上海,24)设椭圆的方程为
m
2
n
2=1(m,n>0),过原点且倾角为θ和
π-θ(0<θ<
=的两条直线分别交椭圆于
A、C和B、D两点,
2
(Ⅰ)用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S;
(Ⅱ)若m、n为定值,当θ在(0,
]上变化时,求
S的最小值u;
4
(Ⅲ)假如μ>mn,求m的取值范围.
n
x2
y2
=1,直线l:x=,
94.(1995全国文,26)已知椭圆
16
24
在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|,求点
Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
95.(1994
全国理,24)已知直线L过坐标原点,抛物线
C的极点在原点,焦点在
x轴正半轴上,若点
A(-1,
0)和点B(0,8)对于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程.
96.(1994上海,24)设椭圆的中心为原点
O,一个焦点为
F(0,1),长轴和短轴的长度之比为
t.
(1)求椭圆的方程;
(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在
y轴右边部分的交点为
Q、点P在该直线上,且|OP|
t
t2
1,
|OQ|
当t变化时,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
答案分析
:D
分析一:将方程
a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转变成标准方程:
x2
y2
1,y2
>b>0,所以,
1
1
b
a2
b2
1
1
y轴,抛物线的张口向左,得
D选项.
b
>0,所以有:椭圆的焦点在
a
分析二:将方程
ax+by2=0中的y换成-y,其结果不变,即说明:
ax+by2=0的图形对于x轴对称,除去
B、C,
又椭圆的焦点在
.
评论:本题观察椭圆与抛物线的基础知识,
即标准方程与图形的基本关系
.同时,观察了代数式的恒等变形及简
单的逻辑推理能力.
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