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四升五年级奥数
第1讲速算与巧算(一)
计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下:
86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。
求这10名同学的总分。
分析与解:通常的做法是将这10个数直接相加,但这些数杂乱无章,直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现,这些数虽然大小不等,但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”,比如以“80”作基准,这10个数与80的差如下:
6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”号表示这个数比80小。于是得到
总和=80×10+(6-2-3+3+11-
=800+9=809。
实际计算时只需口算,将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见,将这一过程表示如下:
通过口算,得到差数累加为9,再加上80×10,就可口算出结果为809。
例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到:
总和数=基准数×加数的个数+累计差,
平均数=基准数+累计差÷加数的个数。
在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例2某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:千克):
462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。求平均每块麦田的产量。
解:选基准数为450,则
累计差=12+30-7-30+23-21+18-11+25+11
=50,
平均每块产量=450+50÷10=455(千克)。
答:平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×7=49(七七四十九)。对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10~20的平方,而21~99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。
例3求292和822的值。
例4求9932和20042的值。
下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式:
66×46=73×88=19×44=
这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。
例588×64=
例677×91=
解:由例3的解法得到
由上式看出,当两个因数的个位数之积是一位数时,应在十位上补一个0,本例为7×1=07。
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
练****1
:
165,152,168,171,148,156,169,161,157,149。
,量出12株麦苗的高度分别为(单位:厘米):
26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25。求这批麦苗的平均高度。
,他们加工零件的个数分别为:
68,91,84,75,78,81,83,72,79。
他们共加工了多少个零件?
:
13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12。
:
(1)372;(2)532;(3)912;
(4)682(5)1082;(6)3972。
:
(1)77×28=(2)66×55=
(3)33×19=(4)82×44=
(5)37×33=(6)46×99=
第2讲速算与巧算(二)
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10,则称这两个数互补。在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为
“头互补、尾相同”型。计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1(1)76×74=
(2)31×39=?
由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1×9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是:
积的末两位是“尾×尾”,前面是“头×(头+1)”。
我们在三年级时学到的15×15,25×25,…,95×95的速算,实际上就是“同补”速算法。
例2(1)78×38=
(2)43×63=?
(2)与(1)类似可得到下面的速算式:
由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3×3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。“补同”速算法简单地说就是:
积的末两位数是“尾×尾”,前面是“头×头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢?
我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补。如43与57互补,99与1互补,555与445互补。
在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型。例如,因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77+23=100,所以是“同补”型。又如,
等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型。例如,
等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用。
例3(1)702×708=(2)1708×1792=?
解:(1)(2)
计算多位数的“同补”型乘法时,将“头×(头+1)”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意:互补数如果是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时,如果“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍然适用(见例4);如果“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适用,因为没有简捷实用的方法,所以就不再讨论了。
例42865×7265=?
解:
练****2
计算下列各题:
68×62=93×97=27×87=79×39=
42×62=603×607=693×607=4085×6085=
第3讲高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
例11+2+3+…+1999=
注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211+12+13+…+31=
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到
项数=(末项-首项)÷公差+1,
末项=首项+公差×(项数-1)。
例33+7+11+…+99=
例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米,边长是1根火柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米(
2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
例6盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?
练****3
:
(1)2+4+6+…+200(2)17+19+21+…+39
(3)5+8+11+14+…+50(4)3+10+17+24+…+101
,末项是93,公差是4的等差数列的和。
,公差是5的等差数列的前30项的和。
,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。问:时钟一昼夜敲打多少次?
。
,十位数比个位数大的数共有多少个?
第四讲整除
我们在三年级已经学****了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质:
性质1如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。
例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如,21与15都能被3整除,那么21+15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7=63整除。
利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学****数的整除性,我们把学过的和将要学****的一些整除的数字特征列出来:
(1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除。
(2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。
(3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除。
(4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。
(5)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。
(6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。
其中(1)(2)(3)是三年级学过的内容,(4)(5)(6)是本讲要学****的内容。
因为100能被4(或25)整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4(或25)整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。这就证明了(4)。
类似地可以证明(5)。
(6)的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837=800+30+7
=8×100+3×10+7
=8×(99+1)+3×(9+1)+7
=8×99+8+3×9+3+7
=(8×99+3×9)+(8+3+7)。
因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,(8x99+3x9)能被9整除。再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除,就能判断837能被9整除。
利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数:
(4)一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。
(5)一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。
(6)一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1在下面的数中,哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?
2347897756886537288064。
例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?
例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。
例4五位数能被72整除,问:A与B各代表什么数字?
例5六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个?
例6要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字?
练****4
,8,9,24,36,72中的哪几个数整除?
,且能被9整除的三位数共有多少个?
,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被