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长度是怎样炼成的〔二〕
让我们暂时放下关于无穷的那些讨论,回到主题:我们通常所说的长度面积体积这些词,究竟是什么意思?
为了更清楚的说明这个主题,让我们把目光只集中在最简单的一维情形,也就是说,我们只考虑“长度〞这个词。我们希望,取出直线上的一局部,就有一个“长度〞存在。如果能做到这一点,那么类似的,面积和体积之类的高维词汇也可以类似的得以理解。
我们把目前要答复的问题列在下面:
什么是长度?是不是直线上任何一局部都可以有长度?
直线上的一个线段当然应该有长度,直线上的两段别离的线段也有总长度,单点有没有长度呢?随便从直线上挖出一些点来得到的也许是虚虚实实的一个“虚线段〞有没有长度?是不是我们从直线上任意取出一个子集合(线段啦单点啦都可以看成是直线的特殊的子集合),都可以定义它的长度?——这件事无论在数学上还是应用上都是重要的,如果能够给直线的任何子集定义长度,那就太方便了。
如果上面这件事是可以的话,那么随便给一个直线上的点集,长度怎么计算?
等等等等。
事实上,在数学中这些问题都能够得到解答,但是首先让我们把上面问题里的“长度〞这个词都换成更准确的一个术语:测度(measure)。之所以要采用这么一个新造的词,首先是因为“长度〞有时候有局限性。一个线段的长度好理解,一个复杂的点集,说长度就会显得很奇怪;不仅如此,在二维情形下我们还要研究面积,三维还要研究体积,四维还要研究不知道什么积……为了省去创造一个又一个新词的苦恼,我们把这些东西统一叫做二维测度,三维测度……一了百了。
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好吧,那么,我们来定义(一维)测度。
——不,不要误会,我并不是要在此刻写出一大段难懂的话,告诉大家“测度就是什么什么什么什么。〞或者更谦逊一点,说“我认为,测度就是什么什么什么什么。〞——也许这是一般人看来自然不过的工作方式,但不是数学家的。
这是因为,我们现在要定义的是某种特别根底的概念。也许在定义某些很复杂的高层概念的时候这种方式很自然,可是概念越根底,这种方式带来的问题就越大。关于测度这种层次的概念几乎必然伴随着用语言难于精确描述的种种晦涩的思考,一旦一个人试图把他对这个词的理解宣诸笔墨,那么无论他多么小心翼翼的整理他的陈述,在别人看起来他的定义都必然漏洞百出,有无数可以商榷的地方。——而因为这个概念在整个逻辑体系中的位置过于根底,任何商榷又都必然说起来云山雾罩,像哲学家们通常进行的关于根底概念的争论一样令人头昏脑胀。如果数学家们要开会用这种方法给出测度的定义,那一百个数学家一定会提出一百零一种定义来,最终的结果是什么有效的结论也得不到。
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数学家们采用的是完全不同的方式:我们先不要贸然去说“什么是测度〞,而是先问问自己,当我们想创造一个新的定义的时候,我们在这个定义的背后是想到达怎样一种目的?换句话说,我们想让这个定义实现哪些事情?
首先,测度——不管它具体怎么定义,其作用的对象按照我们的期望是直线上的任意一个子集,而最后得到的测度应该是一个具体的数字。也就是说,所谓定义测度,就是我们需要找到一种方法,使得随便拿来直线上的一个子集,我们都能够最终得到一个数字作为其“长度〞。〔在这里我们把无穷大也看成是数字,例如整根直线的测度就是无穷大。〕
然后,这种方法总要满足一些必要的约束。——不能随便给一个线段标上一个数字,就说它是测度了。这些约束有哪些呢?
第一,空集〔注意是说空集而不是说单点集〕本身也是直线的子集,也应该有个测度。我们应当保证空集的测度是零。这是很显然的,否那么这个测度就毫无实际意义了。
第二,既然每个子集都有一个测度,那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也应该有个测度,并且这个测度应该等于两者之和。——这也是很直观的要求。两个线段如果不相交,那么他们的总长度应该等于两者长度之和。更高维的情况也一样,两个二维图形如果不相交,那么总面积应当等于各自面积之和,诸如此类。
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更进一步,三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度,四个也对,五个也对,依此类推,无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。——注意,是可数无穷个!
(为什么呢?直接说任意无穷个不好么?干嘛只限定是可数无穷个?)
数学家是很谨慎的。上面这个性质被称为可数无穷个集合的测度的“可加性〞,成认可数无穷个集合有可加性是不得不为之,因为在实际应用中我们确实常常会遇到对可数无穷个子集求总测度的问题,可是任意无穷个子集的测度也能相加,这个陈述就太强大了,我们一时还说不好测度有没有这么强的性质,还是先只成认可加性对可数无穷个集合成立好了。
第三……
“且慢〞,数学家说,“先别找太多的约束,看看这两条约束本身能够在多大程度上给出测度的定义好了。〞
(什么嘛,这两条约束根本什么都没说。第一条是废话,第二条也是很显然的性质,要是只满足这两条就可以叫做测度,那测度的定义也太宽松了,我随随便便就能构造出好多种不同的测度出来。)
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也许是这样,可是到时候再添上新的约束也不迟。这也是数学家们常用的方法,先定义尽量宽松的概念,然后再一点一点的附加条件,得到更细致和特殊的子概念。就目前的情况来说,看起来这两条约束确实是宽松了点……
不幸的是——也许出乎你的意料——这两条约束不是太宽松,而是已经太严苛了。我们可以证明,给直线的每个子集都标上数字作为测度,保证空集的测度是零,并且测度满足可数无穷个集合的可加性,这件事情在逻辑上并无内在的矛盾,但是这样的测度必然具有一些数学上非常乖僻的性质。也就是说,这样的测度根本不能用来作为对长度的定义!
〔关于这件事的证明其实很简单,但是需要一点数学根底才能读懂,详情可以