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【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式
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【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式
复数的向量表示及复数的三角形式
基础概念
一、基础知识概述
由于解方程的需要,我们引进了复数和及其四则运算,并建立了复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立,我们还学过向量及其运算,在些基础上,我们现在一起来学****复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义.
二、重点知识归纳及讲解
1、复数的向量表示:
复数集与复平面内的向量集合(为原点)一一对应.
说明:
(1)零向量表示复数0,相等的向量表示同一个复数;
(2)向量的模就是复数(、)的模,即.
2、复数的三角形式及运算:
(1)复数的幅角:设复数对应向量,以轴的正半轴为始边,向量所在的射线(起点为)为终边的角,叫做复数的辐角,记作,其中适合的辐角的值,叫做辐角的主值,记作.
说明:
不等于零的复数的辐角有无限多个值,这些值中的任意两个相差的整数倍.
(2)复数的三角形式:叫做复数的三角形式,其中,,.
说明:
,为的一个辐角.
(3)复数的三角形式的运算:
设,,.则
1)乘法:;
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2)除法:;
3)乘方:;
4)开方:.
3、复数的几何意义:
(1)复数模的几何意义:,即点到原点的距离,一般地即点到点的距离.
(2)复数加、减法的几何意义:
图中给出的平方四边形,可以直观地反映出复数加、减法的几何意义.
即,.
(3)复数乘、除法的几何意义:
设,则的几何意义是把的对应向量按逆时针方向旋转一个角(如果,就要把按顺时针方向旋转一个角,再把它的模变为原来的倍,所得向量即表示积,如图,,的几何意义是把的对应向量按顺时针方向旋转一个角(如果,就要把按逆时针方向旋转一个角,再把它的模变为原来的倍,所得的向量即表示商.
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4、复数的指数形式:
把模为1,辐角为(以弧度为单位)的复数用记号表示,即,由此任何一个复数就可以表示为形式,我们把这一表达式叫做复数的指数形式.
难点知识剖析
复数的几何意义的理解是本讲的难点.
由于复数集与平面点集间的一一对应关系,使得复数问题常常可用几何方法来解决,几何问题常常可用复数语言来表述,要善于运用“数形结合”的解题思想来思考,分析这类问题,找出最简捷的解题方法.
复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程.
如圆:;
线段中垂线:;
椭圆:;
双曲线:.
典型例题
例1、已知,且,复数.
(1)求的三角形式;
(2)若,求的取值范围.
解析:
(1),
1)当时,则,
而,
∴此时三角形式为.
2)当时,则,
而,
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∴此时三角形式为.
(2)当,,∴,∴,
而,∴;
当,,∴,∴,
而,∴.
评析:
化含三角函数关系的复数为三角形式时,应把握概念,准确运用有关三角公式.
例2、设,,且,.
(1)存在实数、,使成立,求、;
(2)若,求.
解析:
(1)依题意可设,则
.
∵
∴
.
∴,且,
即.
∴,且.
∴当时,.当时,.
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(2)若,则,即.
∴,,∴.
例3、复数与满足:,,且,,问:当为何值时,取得最大值和最小值?并求出这一最大值和这一最小值.
解析:
设,
则,且.
∴.
∴,
∴,即,
∴(显然).
∴,即.
当时,,解得或;
当时,,∴.
即或时,,而时,.
例4、设复数、、满足:,,,其中,若、、在复平面上所对应的点分别是、、,求的面积.
解析:
由复数及复数乘法的几何意义,点在单位圆上,设其辐角主值为,点是,其辐角主值是,∵,∴点是将逆时针旋转角后对应向量的终点,同理向量则是由向量逆时针旋转后,再将模伸长为模的3倍而得到.
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如图所示:
∴
.
例5、已知复数满足,求复数的模的最大、小值及对应的.
解析:
方法一:
∵.、.
∴,∴,∴.
而当时,,
∴当时,;而当时,.
方法二:
设.
∴
.
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∵,∴,.
∴,且当时,;
当时,.
高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算,,即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解,只不过运用三角形式解答时较方便.
基础练****br/>选择题
1、复数的辐角主值是()
.
2、设,,给出复数:,,其中能确定为复数的三角形式的有()
3、已知,(,),则()
.
4、若,则复数的辐角主值是()
.
5、若,则()
6、设,若,则最小的正整数()
7、在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是()
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.
8、、是两个非零复数,且分别对应点、,则的充要条件是()
9、复数满足条件:,则的最大值是()
.
10、设(、),且,则复数的对应点的轨迹是()
综合题
11、已知和均为复数,且,为纯虚数,求和的取值范围.
12、设复数、分别对应复平面上的、点,、的辐角分别为、,且的面积为定值(为原点),若的重心点对应复数.
(1)求点的轨迹方程,并指明轨迹类型;
(2)求的最小值.
13、已知复数、、的辐角主值分别是、、,又,,,且,问取何值时,分别取得最大值和最小值?并求出的最大值和最小值?