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知识点高中数学三角比与三角函数
三角比
角的表示
角度与弧度
1)长度等于半径的弧所对的圆心角大小是1弧度.(周长C=2πr,α=lr)
2)360°=2π弧度(角度制与弧度制不能混写)
3)弧长公式:l=α?r,扇形面积公式:
任意角:一条射线绕着它的端点,由初始位置(始边)旋转到最终位置(终边)就形成了一个角;按逆时针方向为正角,按顺时针方向为负角,不旋转为零角。
与α终边相同的角可表示为:β=k?360°+α角度制或β=2kπ+α(弧度制)
任意角的三角比:
设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y),点P与原点的距离为r,则;;;;;.
三角函数在各象限的符号
+
+
-
-
sinα与cscα
+
-
-
+
cosα与secα
+
-
+
-
tanα与cotα
已知α在第k(k=1,2,3,4)象限,则αn所在象限为:在坐标系中作过原点的直线分别将每个象限n等分,再从第一象限开始逆时针将每一份编号,从1到4,不断循环,直到编完。那么编号为k的区域即为αn所在区域。
三角函数线
三角函数线
正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT.
同角三角比的基本关系式:
1)倒数关系:tanα?cotα=1,cosα?secα=1,sinα?cscα=1
2)商数关系:tanα=sinαcosα,cotα=cosαsinα.
3)平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α
诱导公式:
角kπ2±α与角α的三角比间的关系可以归纳为:“奇变偶不变,符号看象限”(k∈Z).
角与角之间的互换
1)两角和与差的三角比:
sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ
cosα±β=cosαcosβsinαsinβ
tanα±β=tanα±tanβ1tanαtanβ
2)倍角公式和半角公式:
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan2α=2tanα1-tan2α
sinα2=±1-cosα2,cosα2=±1+cosα2
tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα
3)降次公式:sin2α=1-cos2α2,cos2α=1+cos2α2
4)万能公式:设tanα2=t,则
sinα=2t1+t2,cosα=1-t21+t2,sinα=2t1-t2
积化和差:
和差化积:
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2,sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2,cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2
辅助角公式:
asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),且tanφ=ba0≤φ<2π.
解斜三角形
三角形面积:
S=12absinC=12bcsinA=12acsinB=12ra+b+c=abc4R
(R为外接圆半径,r为内切圆半径)
正弦定理:
asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC外接圆半径)
余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA或cosA=b2+c2-a22bc
b2=a2+c2-2accosB或cosB=a2+c2-b22ac
c2=a2+b2-2abcosC或cosC=a2+b2-c22ab
三角函数
正弦、余弦、正切、余切函数的图象与性质:
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
x≠kπ+π2
x≠kπ
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
R
周期性
最小正周期T=2π
最小正周期T=2π
最小正周期T=π
最小正周期T=π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在[2kπ-π2,2kπ+π2]
上单调递增;
在[2kπ+π2,2kπ+3π2]上单调递减;
在[2kπ-π,2kπ]
上单调递增;
在[2kπ,2kπ+π]
上单调递减(k∈Z)
在(kπ-π2,kπ+π2)
上单调递增;
(k∈Z)
在(kπ,kπ+π)
上单调递减;
(k∈Z)
(k∈Z)
最值
当x=2kπ-π2,
ymin=-1;
当x=2kπ+π2,
ymax=1;
(k∈Z)
当x=2kπ+π,
ymin=-1;
当x=2kπ,
ymax=1;
(k∈Z)
无最值
无最值
图像
π
π2
x
y
-π2
-π
1
-1
O
π
π2
x
y
-π2
-π
1
-1
-π2
π2
π2
π
对称轴
x=kπ+π2(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
无
无
对称中心
(kπ,0)k∈Z
(kπ+π2,0)k∈Z
(kπ2,0)k∈Z
(kπ2,0)k∈Z
函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
A为振幅,决定函数的最值;ω称为角频率,它决定了函数的周期,即T=2π|ω|;-φω称为相位移,它决定函数y=Asinωx的图像向左还是向右平移|φω|个单位.
反三角函数图像与性质
y=arcsinx
y=arccosx
y=arctanx
定义域
[-1,1]
[-1,1]
R
值域
[-π2,π2]
[0,π]
(-π2,π2)
奇偶性
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
增函数
减函数
增函数
图像
π2
-1
1
-π2
-1
1
π
π2
-π2
π2
sin(arcsinx)=x,arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])
cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx(x∈[-1,1])
tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx(x∈R)