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翦第期哈尔滨电工学院学报.
年,月眠
混合三参数威布尔分布的参数估计
张锡清『/
机槭工程系
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摘耍
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本文采用威布尔分布厦混合成布尔分布来描速齿轮的可靠性,用最大似髂
法估计分布参数,并通过最优化方法摹最走似然值,,
对本文所采用局试验数据,混合威奄尔分布能更确切地反映数据的统计特性。
关键词:√三—兰—一等,喜—————坌—一,——兰——竺—一兰,产化●并’墨。
威布尔分布及其参数估计
. 威布尔分布
威布尔分布被广泛用于描述机械零件机槭产品的可靠性,它可分为二参数威布尔分
布和三参数戚布尔分布两种。三参数成布尔分布的失效概率分布函数可写成
—
它所对应的失效概率密度函数为
击鼍嚣
式、式中:￡为寿命随机变量;为形状参数; 为位置参数,表示最短无故障运行时
间:为尺度参数,.
当式、式中的位置参数时,则式、式分别成为二参数威布尔分布的
概率分布函数和概率密度函数。
. 参数估计
假定试验数据服从威布尔分布,则只有在确定分布的各个参数以后,才能对试验数据
进行评估和考核,根据试验数据确定分布参数的过程称作参数估计。对于三参数威布尔
分布,参数估计就是要求出三个参数. 和丁的估计值、和使它们所规定的分布能
最确切地反映试强数据所隐含的统计特性。
威布尔分布的参数估计可通过图解洼或解析法进行。图解法较简单,但其精度远不
车文于年月日收到年月日俸回.
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哈尔滨电工学院学报第畚
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解析法又可分成矩法、
法高,而回归分析法只能处理线性及能变换成线性的问题,对于本文涉及的混合威布尔分
布,它无能为力,故本文只介绍最大似然值法。
. 麻布尔分布的似然函数
假定试验数据服从威布尔分布,若样本容量为,寿命试骚效据为, ⋯.≤≤⋯
≤￡,则参数、和的似然函数可写成“’
—
鼍等
最大似然值法就是要求与最大的似然函数值相对应的参数值、;和
由于式恒大予零,所以可对它两边求自然对数。若用表示的自然对数,则
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扣,一击一等一一嚣,】
可以看出,函数和的极值点的位置相同,所以也可用式作似然函数。
最大似然函数的优化解法
可以通过求式的偏导数的方法求各参数的估计值,但三个偏导数方程均为超越方
,故本文采用最优化方法求解。
优化数学模型
令设计变量为恐. ,则优化的数学模型可写成
眍主【【暑≤≤, .,’
其中...。
优化结果
各变量初值的选取方法与下节介绍的类似.
表列出了德国斯图加特大学机械零件研究所在进行齿轮轮齿断裂试骚时获得的一组
数据。对表的数据,用上述优化方法求得的三个参数的估计值分别为: ,
: , 。
将上述估计值代人式,得失效概率分布函数为
卜—
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期张锝清:混合三参数威布尔分布的参数估计
襄齿轮轮齿断裂试验数据
果
分
析
利用上式,可在威布尔撅率纸