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、线、面空间位置关系
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).
(1)线面平行:
l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)线面垂直:
l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.
(3)面面平行:
α∥β⇔u∥v⇔u=kv⇔a2=ka3,b2=kb3,c2=kc3.
(4)面面垂直:
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.
(1)异面直线所成的角
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
(2)直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则
(3)二面角
如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小
如图②③,n1,n2分别是二面角α,β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos<n1,n2>|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
题型一 利用空间向量证明空间位置关系
【例1】 如图所示,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)求证:平面PAD⊥平面PDC.
【证明】以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
即EF∥AB.
又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
又AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以DC⊥⊂平面PDC,
所以平面PAD⊥平面PDC.
【规律方法】向量法证明平行与垂直的步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系;
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;
(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直关系;
(4)根据运算结果解释相关问题.
变式训练一
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.
求证:(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面EGF∥平面ABD.
证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),
即B1D⊥BA,B1D⊥BD.
又BA∩BD=B,BA⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,
因此B1D⊥平面ABD.
即B1D⊥EG,B1D⊥EF.
又EG∩EF=E,EG⊂平面EGF,EF⊂平面EGF,
因此B1D⊥平面EGF.
结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
题型二 利用空间向量求空间角
【例2—1】 (2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.