第二十四章相似三角形知识点总结一.pdf

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●相似形:形状相同的两个图形。
形状相同、大小相同——全等形。
图形的放缩得到相似形。
注意:对应顶点、对应边、
相
对应角要找准。
似对应角相等;
●两个多边形是相似形
形对应边的长度成比例。
全等形对应边的长度的比值1
注:相似多边形,对应边的长度的比例为k,则周长比也为k。
ac比例外项
●四条线段:a:bc:d()a、b、c、d为比例线段。
bd
比例内项
一个比例式只可化1个等积式,而一个等积式可化8个比例式:
a:bc:da:cb:dc:da:b
除了可化,还可化为,,
b:da:c,b:ad:c,c:ad:b,d:cb:a,
ac
adbcd:bc:a
bd

bd
(把比的前项、后项交换);
ac

acab
(交换内项);
●bdcd
比例线段基本性质
cd
。
ab

acabcd此性质的证明运用了“设k法”,是有关比例
合比性质:;
比比bdbd计算,变形中一种常用方法;应用等比性质时,
例例acacac要考虑到分母是否为零。
等比性质:kk。
线线bdbdbd
段段注:
acemacema
①等比性质推广:k(bdfn0)k;
bdfnbdfnb
②关于平行线、三角形等积、比例线段三者联系:同高(或等高)的两个三角形面积之比=对应底边的比;
abbc
③或b是a和c的比例中项,b2ac;
bcab
内项相同外项相同
点P把线段AB分割成AP、PB(APPB),

AP是AB和PB的比例中项
④
AP51
黄金分割、P——黄金分割点、(黄金分割数)。
AB2
平行于三角形一边的直接截其他两边所在的直线,
三角形一边的平行线性质定理
●截得的对应线段成比例;

推论

截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
A
DE
BC
ADAEADAE当D、E分别在AB、AC的延长线上时,同样成立。
、等;
BDCEABAC
由图:DE//BC
DEADAE
。
BCABAC
●
三角形的重心到一个顶点的距离它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
三条中线的交点
三A
角
形FE
一G
边
的BDC
平DGEGFG1
由图:G是ABC重心.
行AGBGCG2
线
三角形一边的平
行线判定定理
一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例
●
一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例这条直线平行于三角形的第三边。

在第三边的同侧推论
A
ED
BCA
DEBC
ABACBCAB
由图:等DE//BC;BC//DE。
ADAEDEAD
平行线分线段成比例定理;依据此定理已知
●
比例线段中的三条线段,求作另一条未知线
段。
截得的对应线段成比例。
两条直线被三条平行的直线所截
如果在一条直线上截得的线段相等那么在另一条直线上截得的线段也相等。
平行线等分线段定理
DE
l
1
FGl
2
L
3
BC
DFEG
由图:l//l//l等。
123BFCG
两个三角形是相似形,其中一个三角形的三边长分别是4cm,6cm,8cm,另一个三角形有一边(不是最小的边)
是9cm,则这个三角形最小的边是多少cm?()
4与所求边是对应边
相
似
形
ADAE
已知:如图,在ABC中,,
1、DBEC
比ABACSAC
求证:(1);(2)ABC。
练例DBECSEC
BCD<br****线引入AB边上的高h,则BD边上的高也为h
利用合比性质
段
、A
三
DE
角
形BC
一
边
的
平
行
线
ACCD
2、已知:在ABC中,BAC的平分线AD交BC于点D,求证:.
ABDB
利用1)角平分线的性质;2)利用
C“面积法”——同高(或等高)的
两个三角形面积之比=对应底边的
D
比;3)需要添加辅助线。
AB
3、已知四边形ABCD中,AB//GH//CD,AB30,CD12,DG:GA5:4,求GH的长。(22)
DC1)通过添加辅助线构成“三角形一边的平行线”的基本图形;
)还有另两种方法:联接四边形的一条对角线;分别延长、
2AD
BC交于点E。
GH
AB
已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,ADm,BCn,E、F分别是AD、BC的中点,AF与BE相交
4、
于点G,EC与DF相交于点H。
mn
(1)求证:GH//BC;(2)求GH的长。()
mn
GHEG
AED
EGEHBCBE
只要证
GHGBCHEGAEm

BGBFn
BFC