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垂直平分线
第一页,共二十七页。
MN⊥AA’于P
AP=A’P
1、图中的对称点有哪些?
2、线段AA’、BB’、CC’与直线MN有什么样的关系?
思考?
图中的两个三角形关于直线MN对称
直线MN垂直且平分这三条线段
M
N
A
B
C
A’
C’
B’
P
Q
G
定义:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
第二页,共二十七页。
通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。
类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
对应点的连线被对称轴垂直平分。
第三页,共二十七页。
下面我们来探究线段垂直平分线的性质
P3
A
B
l
P2
P1
l是AB的垂直平分线,观察P1A和P1B,P2A和P2B,P3A和P3B之间的关系?
第四页,共二十七页。
B
A
C
P
l
求证:
线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等
能不能写出已知求证并证明呢?
第五页,共二十七页。
已知:直线m是线段AB的垂直平分线,
P为直线m上的任意一点;
求证:PA=PB.
证明:通过证明两个三角形全等.
∵m是AB的垂直平分线,P在m上
∴PO⊥AB,AO=BO
∴∠AOP=∠BOP=90°
在△APO和△BPO中,
∴△APO≌△BPO(SAS)
∴PA=PB.
PO=PO
∠AOP=∠BOP
AO=BO
结论:线段垂直平分线上的点与这条线段
两个端点的距离相等.
A
B
P
m
O
第六页,共二十七页。
理解了吗?
1、因为AD为BC的中垂线,所以。
理由:
AB=AC
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
B
C
A
D
2、如图,NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有:。
①AB⊥MN,②AD=DB,③MN⊥AB,④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线
A
B
M
N
D
①②③
第七页,共二十七页。
例题
如图,若AC=12,BC=7,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,求△BCD的周长。
D
C
B
E
A
解:
∵ED是线段AB的垂直平分线
∴
∵△BCD的周长=BD+DC+BC
∴△BCD的周长=
=
=
BD=AD
AD+DC+BC
AC+BC
12+7=19
P29页3题
第八页,共二十七页。
2、如下图△ABC中,AC=16cm,DE为AB的垂直平分线,△BCE的周长为26cm,求BC的长。
A
E
D
B
C
10cm
第九页,共二十七页。
3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90,DE是AB的垂直平分线,连接AE,∠CAE:∠DAE=1:2,求∠B的度数。
A
E
D
B
C
36°
第十页,共二十七页。