高考一轮复习直线圆与方程.pdf

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年级高三学科数学
内容标题直线、圆与方程
编稿老师胡居化
一、学****目标:
,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的
点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.
,根据直线的方程判断两条直线的位置关系,掌握
两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
;并能根据已知条件确定圆的方程,掌握判断点
与圆、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的方法.
.
二、重点、难点:
重点:、斜率,求直线方程.
、圆与圆的位置关系的判断及应用.
难点:直线和圆的方程的综合应用及利用直线与圆的知识解决一些简单的问题;
三、考点分析:
新课标高考对直线方程与圆的方程知识的考查以基础知识为主,从近几年的新课标高考
命题来看,考查知识点主要是直线的倾斜角、斜率、直线方程的五种形式、求圆的方程、
直线与圆、圆与圆,点与圆位置关系的判断及应用,考查的题型大多是客观试题,题目难度
在中等以下,但考查的知识点相对灵活.
一、直线的倾斜角、斜率、直线方程的形式
:
(1)直线的倾斜角:一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条
直线的倾斜角,倾斜角的范围是.
yy
(2)直线的斜率:设直线的倾斜角为,则ktan21,()
xx2
21
(3)倾斜角与斜率的关系:倾斜角存在,斜率未必存在,斜率存在,倾斜角一定存在.
:点斜式、截距式、两点式、斜截式、一般式.
(1)点斜式:y-y=k(x-x).
00
(2)斜截式:y=kx+:.
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yyxx
(3)两点式:1=1.
yyxx
2121
xy
(4)截距式:+=1.
ab
(5)一般式:Ax+By+C=0.
二、两条直线的位置关系的判断.
:ykxb,l:ykxb
111222
(1)l//lkk且bb
121212
(2)llkk1
1212
:AxByC0l:AxByC0
11112222
(1)l//lABAB且BCBC,(2)llAABB0
12122**********
三、点到直线距离及两平行直线的距离的公式
:设点P(x,y),直线l:AxByC0,P到l的距离为d,
00
AxByC
00
d
则有.
A2B2
:设两条平行直线
l:AxByC0,l:AxByC0(CC),它们之间的距离为d,则有
112212
CC
d12
.
A2B2
注1:直线系方程:
(1)与直线:Ax+By+C=0平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.(m∊R,C≠m).
(2)与直线:Ax+By+C=0垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.(m∊R)
(3)过定点(x,y)的直线系方程是:A(x-x)+B(y-y)=0(A,B不全为0)
1111
(4)过直线l、l交点的直线系方程:(Ax+By+C)+λ(Ax+By+C)=0(λ∊R)
12111222
注:该直线系不含l.
2
注2:关于点对称和关于某直线对称:
(1)点关于直线对称::.
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设直线l:AxByC0(B0.),P(x,y)关于直线l的对称点P'(x,y)
0011
Ayy
011

Bxx
则有:01求出x,y
xxyy11

A01B01C0
22
(2)直线关于直线对称:
设l:axbyc0,l:AxByC0(B0),求l关于l对称的直线l
110
(i)l与l的交点P在直线l上。(ii)l上任意一点Q(x,y)关于l的对称点在l上.
101000
注:①曲线、直线关于一直线对称的解法:
y换x,x换y.
例:曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称的曲线方程是f(y+2,x–2)=0.
②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)对称的曲线方程是f(2a–x,2b–y)=0.
四、圆的方程
:圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.
注:特殊圆的方程:
①与x轴相切的圆的方程(xa)2(yb)2b2[rb,圆心(a,b)或(a,b)]
②与y轴相切的圆的方程(xa)2(yb)2a2[ra,圆心(a,b)或(a,b)]
③与x轴、y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a2[ra,圆心(a,a)]
:x2y2DxEyF0
DE
当D2E24F0时,方程表示一个圆,其中圆心C,,半径
22
D2E24F
r.
2:.
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DE
当D2E24F0时,方程表示一个点,.
22
当D2E24F0时,方程无图形(称虚圆).
xarcos
注:①圆的参数方程:(为参数).
ybrsin
②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是:B0且AC0且
D2E24AF0.
③圆的直径方程:已知A(x,y),B(x,y),则以AB为直径的圆的方程是:
1122
(xx)(xx)(yy)(yy)0
1212
、直线与圆、圆与圆位置关系的判断
(1)点与圆的位置关系:给定点M(x,y)及圆C:(xa)2(yb)2r2.
00
①M在圆C内(xa)2(yb)2r2
00
②M在圆C上(xa)2(yb)2r2
00
③M在圆C外(xa)2(yb)2r2
00
(2)直线与圆的位置关系的判断:
几何法:设圆C:(xa)2(yb)2r2(r0);
直线l:AxByC0(A2B20);
AaBbC
圆心C(a,b)到直线l的距离d.
A2B2
dr时,l与C相切;②dr时,l与C相交;③dr时,l与C相离.
①
x2y2DxEyF0
111
附:(i)若两圆相切,则两式相减所得为公切线方程.
x2y2DxEyF0
222
(ii)公共弦方程:设有两个交点,
则其公共弦方程为.
(DD)x(EE)y(FF)0
121212
x2y2DxEyF0
111
(iii)若两圆相离,则两式相减所得为圆心OO的连
x2y2DxEyF012
222
线的中垂线方程.
(xa)2(yb)2r2
代数法:方程组用代入法,得关于x(或y)的一元二次方程,
AxBxC0
其判别式为,则:0l与C相切;0l与C相交;0l与C相离.
(两圆的半径分别为r、r,圆心距为d)
12:.
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(a)外离d>r+r
12
(b)外切d=r+r,
12
(c)相交│r-r│<d<r+r
1212
(d)内切d=│r-r│
12
(e)内含0≤d<│r-r│(其中d=0,两圆同心)
12
:
(1)过圆上一点的切线方程(只有一条)
x2y2DxEyF0P(x,y)
(i)过圆的一般方程:上一点的切线方程为:
00
xxyy
xxyyD0E0F0.
0022
(ii)圆的标准方程:若点(x,y)在圆上,则过此点的切线方程为:(x–a)(x–a)
000
+(y–b)(y–b)=r2
0
特别地,过圆x2y2r2上一点P(x,y)的切线方程为xxyyr2.
0000
(2)过圆外一点的圆的切线方程(有两条):
yyk(xx)
1010

若点A(x,y)在圆外,圆心为(a,b),则byk(ax),联立求出k切线方
00R11

R21
程.
注:若通过上述方法求出的只有k的值,则另一条切线的斜率不存在,其切线方程是
xx.
0
知识点一:直线的倾斜角、斜率、直线方程
.
(x,y)的直线都可以用方程y-y=k(x-x)表示;
00000
(x,y)、P(x,y)的直线都可以用方程
111222
(x-x)(x-x)=(y-y)(y-y)表示;
211211:.
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xy
+=1表示;
ab
(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示;
(1,2)且在两轴上截距相等的直线方程只有xy3
【思路分析】根据点斜式、两点式、截距式、斜截式等直线方程的特点进行判断.
【解题过程】对命题1,命题4,其方程不能表示倾斜角是90°的直线,对命题3,当直线平
行于一条坐标轴时,则直线在该坐标轴上的截距不存在,故不能用截距式方程表示直线;对
命题5,经过点A和原点的直线在两轴上的截距都是0,也满足条件,
题2是正确的.
【解题后的思考】要清楚:点斜式、斜截式直线方程不能表示斜率不存在的直线,即垂直于
x轴的直线;两点式、截距式直线方程不能表示垂直于坐标轴的直线.

(1)两直线ax+by+1=0和ax+by+1=0的交点为P(2,3),且过两点Q(a,b)、
1122111
Q(a,b)(a≠a).
22212
(2)直线过P(3,2)且与x、y轴的正半轴交于A、B两点,且△AOB的面积最小(O
为坐标原点
【思路分析】
(1)由点P(2,3)在已知两直线的交点上,观察直线方程求解.
xy
(2)设直线方程为+=1,用a,b表示△AOB的面积S,
ab
设直线为:y2k(x3),(k0),求Sf(k),求函数取得最小值时k的值.
【解题过程】
2a3b10
(1)∵点P(2,3)在已知两直线的交点上,则11,显然Q(a,b)、

2a3b10111

22
Q(a,b)(a≠a)在直线2x3y10上,即所求的直线为2x3y10
22212
xy326
(2)设直线方程为+=1,a>0,b>0,代入P(3,2)得+=1≥2,
ababab
13b1b2
解得ab≥24,S=ab≥12,此时=,∴k=-=-.∴所求直线方程为2x+3y
△AOB22
2aa3
-12=0.
【解题后的思考】求直线方程时,
形式的直线方程所表示的直线各有其适用范围,解题时应注意不要丢解.
例3.
:xysin10,l:2xsiny10,取何值时?
12
(1)l//l(2)ll
1212
(2,4)射出,经直线l:2xy70反射,反射光线过点B(5,8).
(1)求入射光线所在的直线方程;
(2):.
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【思路分析】
//lABAB且BCBC,llAABB0建立关于
12122**********
的等式.
',由入射光线的反向延长线过点B',可求入射光线
所在的直线方程.
【解题过程】:xysin10,l:2xsiny10得:
12
A1,A2sin,Bsin,B1,C1,C1,
121212
l//lABAB0且BCBC2sin21且sin1,
1212211221
2
sink(kz),
24
llAABB0sin0k(kz),
121212
y70的对称点是B'(x,y).
00
5x8y
20070

22
∴,解之得x9,y6,∴B'(9,6).
y8100
0
x52
0
(1)放入射光线所在的直线方程即AB'的直线方程为:2x11y480.
(2)设入射光线与直线l交于点N,则A,N,B'共线.
∴S|AN||BN||AN||B'N||AB'|55.
【解题后的思考】应用两直线的位置关系求参数的值的问题是常见的题型,要注意使用条件
:设直线l:AxByC0l:AxByC0,
11112222
llAABB0,l//lABAB且BCBC这一条件判断较好,
1212121212211221
:.
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:mxym0,l:xmym(m1)0,l:
123
(m1)xy(m1)0,当mR时它们围成ABC.
(1)求证:不论m取何值时,ABC中总有一个顶点为定点;
(2)当m取何值时,ABC的面积取得最大值、最小值?并求出最大值、最小值.
【思路分析】(1)由题给直线证明有两条直线都过同一定点.
(2)把ABC的面积S表示为m的函数,利用函数求最值.
【解题过程】(1)证明:将直线l:mx-y+m=0化为m(x+1)-y=0,则直线l经过定点
11
(-1,0),将直线l:(m+1)x-y+(m+1)=0化为m(x+1)+(x-y+1)=0,则直线l
33
经过定点(-1,0).则直线l、l都过同一个定点(-1,0),由于直线l、l的交点是△ABC
1313
的一个顶点,故△ABC中总有一个顶点为定点.
(2)设l、l的交点为A(-1,0),直线l、l的交点为B,直线l、l的交点为C
131223
(如图),则点A到直线l的距离为
2
1m0m(m1)m2m12
mm1
h==.
1m21m21m2
m
x
mxym0
m21
由解得
xmym(m1)0m2

ym
m21
m1
即B(,+m+1).
m21m21
xmym(m1)0x0
由解得即C(0,m+1).
(m1)xy(m1)0ym1:.
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m11
所以,BC()2()2.
m21m21m21
11m2m11m
于是,△ABC的面积S=BCh==(1)
22m212m21
m1
∵m21≥2|m|,∴≤,
m212
m1113
∴[,],从而S∈[,].
m212244
13
令S=,则m=-1;令S=,则m=1.
44
3
所以,当m=1时,△ABC有最大面积;当m=-1时,△ABC
4
1
有最小面积.
4
【解题后的思考】解含有参数的直线通过的定点的问题,常把直线方程化为:
f(x,y)0
参数f(x,y)g(x,y)0的形式,再利用求出定点坐标.
g(x,y)0
知识点二:圆的方程;直线、圆与圆的位置关系.

已知圆C与圆x2y22x0相外切,并且与直线x3y0相切于点Q(3,3).
【思路分析】设圆的方程为(xa)2(yb)2,b,r的
方程组,从而求a,b,r的值.
【解题过程】设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2,圆心为(a,b),半径是r,圆
3
x2y22x0的圆心坐标是A(1,0),半径是1,直线x3y0的斜率是,
3:.
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b3
3
a3a4a0


则(a1)2b21rb0或b43,

r2r6
a3b
r
2
所以圆C的方程为(x4)2y24或x2(y43)236.
【解题后的思考】确定圆的方程的关键是确定圆心(a,b)及半径r、或确定D,E,
:对已知中圆过不在一条直线上三个
点求圆的方程都采用一般式,利用待定系数法确定D、E、.
同时,.
R,直线l:mx(m21)y4m和圆C:x2y28x4y160.
(Ⅰ)求直线l斜率k的取值范围;
1
(Ⅱ)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
2
【思路分析】
(1)由直线l:mx(m21)y4m得出斜率kf(m),利用判别式或基本不等式求k
的范围.
1
(2)假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧,由此探求m值是否存在,
2
若存在,结论成立,若不存在,结论不成立.
【解题过程】
m
(Ⅰ)方法一:k,km2mk0(),mR,∴当k≠0时≥0,解得
m21
11
≤k≤且k≠0,又当k=0时,m=0,方程()有解,所以,综上所述得k的取值范围:
22
11
≤k≤.
22:.
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方法二:
(i)当m=0时,k=0
|m|1111
(ii)当m0时,|k|k0或0k
|m|211222
|m|
|m|
11
综合(i)(ii)知k的取值范围是[,]
22
1
(Ⅱ)假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.
2
则直线l与圆C交于A,B两点
∴∠ACB=120°.∵圆C:(x4)2(y2)24,
∴圆心C(4,-2)到直线l的距离为1.
4m2(m21)4m
故有1,整理得3m45m230.
m2(m21)2
∵524330,∴3m45m23.
1
因此直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.
2
【解题后的思考】解分式函数的值域问题可采用基本不等式法或判别式法,利用判别式法求
解时应注意参数在二次项系数中的位置,要讨论参数是否为零,
法求解时应注意基本不等式使用的条件.
:(x4)2y24,圆D的圆心D在y轴上,与圆C外切,圆D与y
轴交于A,B两点,定点P的坐标是P(-3,0)
(0,3),求APB的正切值.
,求tan:.
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【思路分析】
(1)APB的正切值是直线PB的斜率,根据两圆的位置关系求出圆D的半径,从而
确定A,B两点的坐标.
(2)利用tanAPBtan(OPBOPA)表示tanAPB.
【解题过程】
(1)圆C:(x4)2y24的圆心C(-4,0),半径r=2,圆D的圆心D(0,3),故|CD|=5.
圆D的半径r3,此时A(0,0),B(0,6),tanAPBk2
BP
(2)设D(0,a),圆D的半径是r,由圆C与圆D相外切得:16a2(r2)2
arar
此时A(0,ar),B(0,ar),故tanOPAk,tanOPBk
PA3PB3
arar

336r
tanAPBtan(OPBOPA)(*)
arara2r29
1
33
6r6r
把a2(r2)216代入(*)得:tanAPB
(r2)216r294r3
39312
,(r2)216a216r28r610tanAPB
28r625
12
故tanAPB的最大值是.
5
【解题后的思考】有关圆与圆的位置关系的问题,掌握其位置关系的判断方法是解题的关键,
即相离d>r+r外切d=r+r,相交│r-r│<d<r+r,内切d=│r-r│,内含
1212121212
0≤d<│r-r│(其中d=0,两圆同心.)对于求简单的分式函数的最值的问题,应首先考
12
虑用基本不等式法、分离常数法等数学思想方法去解决.
直线与圆的方程在新课标高考中以考查基础知识为主,从近几年新课标高考的试题来
看,对直线方程知识的考查出现的题型多是选择题、
斜角、斜率、、
填空题的形式出现,题目难度较小,故掌握好圆的方程的形式、点与圆、直线与圆、圆与圆:.
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的位置关系等基础知识点就能获得高分,
向量、轨迹、,灵活运用
数学思想和方法解决,如数与形结合思想的应用等.
(答题时间:50分钟)
一、选择题
(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行,则m=()
.
(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程为()
2y2y2y2y5
(1,3)引圆x2y29的切线的长是()

2y80,4x3y10,2xy10相交于一点,则a的值是()
A.2B.
y21和x2y26x8y90,那么两圆的位置关系是
()

6.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的()


y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是()
..
(2,2)(,2)(2,)
(3,3)(,3)(3,)
二、填空题
2xy20的圆心C,且与直线xy0,垂直的直线方程是
________________.
+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,弦AB的中点为M
(0,1),则直线l的方程为.
:x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2
=0对称的点都在圆C上,则a=.
三、解答题
:x2y22x4y40,问是否存在斜率为1的直线l,使直线l被圆
C截得的弦为AB,且以AB为直径的圆经过原点,若存在,写出直线l的方程,若不存在,
:.
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,二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有
.
(Ⅰ)求实数b的取值范围;
(Ⅱ)求圆C的方程;
(Ⅲ)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论.
:.
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一、选择题
4m
:k2m8.
ABm2
31
:AB的中点M(2,),k-,故AB的中垂线的斜率是2,其方程是:
2AB2
3
y-2(x2)4x2y5.
2
:由图知:切线|PT|的长是1.
:直线4x+3y=10与直线2x-y=10的交点为(4,-2),把(4,-2)代
入:ax+2y+8=0得a=1.
:两圆的连心线的距离d=5,两圆的半径分别是1,4.
:当a=1时,显然两直线垂直,当两直线垂直时,a=1.
:圆x2y21到直线ykx2的距离:
2
d1k233k3
1k2
二、填空题
y10
解析:易知点C为(1,0),而待求直线与xy0垂直,可设待求直线的方程为
yxb,将点C的坐标代入得:b1,故待求直线的方程为xy10.
y10
解析:由已知圆C:x2+y2+2x-4y+a=0的圆心是C(-1,2),弦AB的中点是M(0,1).
则直线l与CM垂直,故k1k1,所以直线L的方程是y-1=x.
CML
10.-2
a
解析:由已知圆Cx2y22xay30的圆心C(-1,)在直线x-y+2=0上,
2
故a=-2.
三、解答题:
:假设存在直线l:yxm满足题意,代入x2y22x4y40:.
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m2
得x2m1x2m20.
2
设直线l被圆C截得的弦AB的端点Ax,y,Bx,y,
1122
m2
m1242m20m26m90
由得:......(1)
2
xxm1
12
又2,因为以AB为直径的圆过原点O,所以AOBO,
m
xx2m2
122
xxyy0xxxmxm0
即,,
12121212
mxx2xxm20
化简得,
1212