文档介绍：真是出乎意料!
——一节****题讨论课的回顾
浙江省平湖中学盛寿林(314200)
上一届高三第一轮复****时,我们在考试中出了这样一道题:
题目:集合A={(x,y)| x2+mx-y +2=0 },集合B={(x,y) | x -y +1=0 ,且0≤x ≤2},又A∩B ¹,求实数m的取值范围.
考试下来情况很不理想,一是不少同学解题没思路,二是考虑问题不全面或理解错误,得分率极低.
本届高一,我带了两个提前班,,在期末复****时我作了如下尝试:将题目布置同学,并给一周的时间,要求联想所学的知识和方法,多角度地思考、探究,一周后在课堂上交流.
(出示上周布置的题)
[师:同学们,今天我们一起来讨论这道题的解法,哪位同学先来说说?]
S1:∵A∩B ¹,由得:x2+( m-1) x +1=0,
∴原问题可转化为:方程x2+( m-1) x +1=0在[0,2]上有根.
[师:很好!这位同学抓住“A∩B ¹”的含义,巧妙地将原问题转化为“一元二次方程在闭区间上有根的问题”.在数学解题中,我们常常要依据题目的已知信息,将陌生的数学问题转化为熟悉的问题,这在数学称之为“转化思想”.理解数学符号的意义,常常是问题得到转化的关键.]
他接着说,关于方程在闭区间上有解的问题,以前也做过,但感觉有点繁。这次,刚做过这样一个题:
“已知关于x的一元二次方程① mx2-4x+4=0(m∈Z);② x2-4mx+4m2-4m-5=0(m∈Z),①②都有整数解时,求m的取值范围.”
因为有整数解,一定有解。由⊿1≥0且⊿2≥0得:.∵m∈Z,
∴m = -1或m = 0或m =,只要对这三种情况验证即可。经验证m=1为所求.
所以,方程在[0,2]是上有根,⊿=( m-1)2-4≥0易得:
m≥3或m≤-1.
若m≥3,则x1+x2=1-m <0,x1x2=1,所以方程只有负根;
若m≤-1,x1+x2=1-m >0,x1x2=1,所以方程有两正根,且两根均为1或两根一个大于1,一个小于1,即至少有一根在[0,2]内.
因此,m的取值范围是{ m | m≤-1}.
[师:非常棒!(同学们为之激动,迎来一片掌声)这位同学能联想到最近做题的思路和方法,然后“迁移”到此题上,,我们常说,迁移能力强的人,往往解题能力也强.]
S2:先求出方程的两个根:
, .
一开始我分析,方程x2+( m-1) x +1=0在[0,2]上有根,分三种情况:
①只有x1∈[0,2]; ②只有x2∈[0,2]; ③ x1,x2∈[0,2]
而且解下列不等式:
0≤≤2≤
或0≤≤≤2
或≤0≤≤2
,我想到它的反面,即考虑方程在[0,2]上没有根的情况:
x1∈(2,+) 或 x2∈(-,0).
故只要解不等式:>2 ①或<0 ②
不等式①Û<-m-3ÛÛ,
∴m∈;
不等式②Û<m-1Û,∴m >1.
∴所求m的取值范围应该是{ m | m >1}的补集{ m | m≤ 1}.
(下面有同学在讲,这个答案不对,应该m≤-1 .)
[师: 这位同学直接求根很勇敢,且遇到分类多的情况,及时改变解题策略考虑其反面,