考研数学一真题.doc

文档介绍：2007年数学一试题分析、详解和评注
一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当时,与等价的无穷小量是
(A) . (B) . (C) . (D) . 【】
【答案】应选(B).
【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.
【详解】当时,有;;
利用排除法知应选(B).
【评注】本题直接找出的等价无穷小有些困难,但由于另三个的等价无穷小很容易得到,因此通过排除法可得到答案。事实上,
=
完全类似例题见《经典讲义》, , .
(2)曲线,渐近线的条数为
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【】
【答案】应选(D).
【分析】先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。
【详解】因为,所以为垂直渐近线;
又,所以y=0为水平渐近线;
进一步,=,
=
=,
于是有斜渐近线:y = x. 故应选(D).
【评注】一般来说,有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线,但当不存在时,就要分别讨论和两种情况,即左右两侧的渐近线。本题在x<0 的一侧有水平渐近线,而在x>0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数当时极限不存在,必须分和进行讨论。
重点提示见《经典讲义》,, .
(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设则下列结论正确的是
(A) . (B) .
(C) . (D) . 【】
【答案】应选(C).
【分析】本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】根据定积分的几何意义,知F(2)为半径是1的半圆面积:,
F(3)是两个半圆面积之差:=,
因此应选(C).
【评注1】本题F(x)由积分所定义,应注意其下限为0,因此
,也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.
【评注2】若试图直接去计算定积分,则本题的计算将十分复杂,而这正是本题设计的巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》, ,
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是:
(A) 若存在,则f(0)=0. (B) 若存在,则f(0)=0.
(C) 若存在,则存在. (D) 若存在,则存在
【】
【答案】应选(D).
【分析】本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0.
若存在,则,可见(C)也正确,故应选(D). 事实上,可举反例:在x=0处连续,且
=存在,但在x=0处不可导。
重要知识点提示见《经典讲义》,, .
(5)设函数f (x)在上具有二阶导数,且令,
则下列结论正确的是:
(A) 若,则必收敛. (B) 若,则必发散.
(C) 若,则必收敛. (D) 若,则必发散. 【】
【答案】应选(D).
【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】设f (x)=, 则f (x)在上具有二阶导数,且,但发散,排除(C); 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数,且,但收敛,排除(B); 又若设,则f(x)在上具有二阶导数,且,但发散,排除(A). 故应选(D).
【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若,则存在,使得. 在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得
,
又因为在上因此在上单调增加,于是对有
.
在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得,
即
故应选(D).
重要提示与例题见《经典讲义》, 、《真题(一)》
(6)设曲线具有一阶连续偏导数),过第II象限内的点M和第IV象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是
(A) . (B) .
(C) . (D) . 【】
【答案】应选(B).
【分析】直接计算出四个积分的值,从而可确定正确选项。
【详解】设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入