文档介绍：n阶常系数线性非齐次方程解法
对于形如的解法,它的通解等于其对应的齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.
比较系数法(待定系数法)
下面分两种类型讨论:
设,其中及为实常数.
当不是特征根时,有形如的特解,其中
当是()重特征根时,有形如的特解,其中,对于中的的系数,则可以由待定系数法求得.
例11求方程的通解
解先求对应齐次方程的通解,其特征方程是;
故特征根为从而,对应齐次线性方程通解为;
由于不是特征根,因而已知方程有形如的特解.
为确定将它代入原方程中,由于,
故.
比较上式等号两端的同次幂系数,可得,
故已知方程特解为,则原方程的通解为.
例12 求方程.
解由于则
故齐次方程通解为: ,
由于为二重特征根,
故有,
故,
则原方程的通解为.
设,其中为常数,而是带实系数的多项式,其中一个的次数为,一个的次数不超过,,而均为特定的带实系数的次数不高于的的多项式
根据欧拉公式,有
则
再利用迭加原理,于是有两种形式:
如果不是特征根,则特解具有形式
其中是系数待定的次多项式.
(2)如果是重特征根,则特解应具有形状
.
例13 求解方程.
解先求对应的齐次方程,我们有,
故特征根为;由于迭加原理,则原方程可化为
(1)对于,由于是特征根,故方程具有形如的特解,现将上式代入,则;
则的通解为.
(2)对于,由于不是特征根,,则,
则的通解为.
故原方程的通解为.
总结:比较系数法用于方程右端是某些基本函数的情况,常见的有:多项式,指数函数,正弦(或余弦)函数以及它们的某种乘积组合,然后根据的前面所归纳的类型,从而求出方程的特解,进而求出通解.