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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
第七章线性变换与相似矩阵
?
1)设是线性空间中的一个固定向量,
(Ⅰ),,
解:当时,明显是的线性变换;
当时,有,,则
,即此时不是的线性变换。
(Ⅱ),;
解:当时,明显是的线性变换;
当时,有,,则
,即此时不是的线性变换。
(2)在中,
(Ⅰ),
解:不是的线性变换。因关于,有,
,所以。
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
(Ⅱ);
解:是的线性变换。设,此中,,
则有
,
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
。
(3)在中,
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
(Ⅰ)
,
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解:
是
的线性变换:设
,则
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
,
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
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,
。
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
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(Ⅱ)
,此中
是中的固定数;
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解:
是
的线性变换:设
,则
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
,
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
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,
。
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(4)把复数域
看作复数域上的线性空间,
,此中
是的
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共轭复数;
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解:不是线性变换。因为取
,
时,有
,
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,即
。
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(5)在
中,设
与是此中的两个固定的矩阵,
,
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。
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
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解:是的线性变换。对,,有
,
。
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵<br****题
轴向
中,取直角坐标系
900的变换,以
,以
表示空间绕
表示空间绕
轴由
轴向
轴由
方向
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旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的
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变换。证明
(表示恒等变换),
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,
;
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并说明
能否建立。
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证明:在
中任取一个向量
,则依据
,及
的定义可
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知:
,
,
,
;
;
,
,
,
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
,即
,故
。
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
因为
,
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵
,所以
。
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因为
,
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,所以
。
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因为
,
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,所以
。
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高等代数与分析几何第七章13****题线性变换与相似矩阵<br****题
在
中,
,
,证明
。
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证明:在
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中任取一多项式
,有
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。所以。
,是上的线性变换。若,证明
。
证明:用数学归纳法证明。当时,有
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命题建立。假设等式对建立,即。下边证明等式对
也建立。因有
,即等式对也建立,从而对任意自然数都建立。
(1)若是上的可逆线性变换,则的逆变换独一;
(2)若,是上的可逆线性变换,则也是可逆线性变换,且
。
证明:(1)设都是的逆变换,则有,。
从而。即的逆变换独一。
(2)因,都是上的可逆线性变换,则有
,同理有
由定义知是可逆线性变换,为逆变换,有独一性得
。
,向量,且,,,
都不是零向量,但。证明,,,
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线性没关。
证明:设,挨次用可得
,得,而,
故;同理有:,得,
即得;挨次类推可得,即得,从而得
。
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有定义知,,,线性没关。
,证明是可逆线性变换的充要条
件为既是单射线性变换又是满射线性变换,即是一一变换。
证明:已知是可逆线性变换,即存在。若,则
两端用作用即得,所以是单射线性变换。
若任取,则存在,使得,即是满射线性
变换。
已知既是单射线性变换又是满射线性变换,即双射。现定
义新的变换:,定有,且有,规定,有
,同时有,即有。由定义
知是可逆线性变换。
,证明(1)是单射线性变换的充
要条件为;(2)是单射线性变换的充要条件为把线性
没关的向量组变成线性没关的向量组。
证明:(1)已知是单射线性变换,对,则有
,由单射得,即。
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已知,若,则有,得
,即得,故是单射。
(2)已知是单射线性变换。设线性没关,现证
也线性没关。令,整
理有,而是单射,有,
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