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主要内容
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
矢量的标量函数
二阶张量的标量函数
二阶张量的二阶张量函数
张量函数导数的定义,链规则
矢量的函数之导数
二阶张量的函数之导数
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
要研究导数,必须引进函数。
张量函数,有各种类型。
例如,张量的标量函数:
例如,张量的张量函数:
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数(客观性背景)
可先看各向同性标量函数:在坐标系刚性旋转变换下,其表现形式和数值均保持不变。
例如:
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
等价表示或等价描述:上述各向同性函数的描述,虽然清晰,但很不方便,因为坐标系要旋转。问题:能否找到一种等价描述,在该描述下,坐标系保持不动?
经典《解析几何》中,解析地描述一个几何图形的运动,有两种不同的思想。一种思想:图形不动,移动坐标。但运动是相对的,于是另一种思想:坐标不动,图形移动。
注意:运动学思想之重要!
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形,一个矢量。研究两种相对的旋转运动下,矢量的表达,以及矢量的标量函数的表达。一种旋转运动,矢量不动,坐标系顺时针旋转一个角度,函数不变:
另一种旋转运动,坐标系不动,矢量逆时针旋转同一个角度,函数不变:
进一步:
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
矢量的旋转量:
二阶张量的旋转量:
进一步看:
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
把上述思想推广至一般情形:各向同性张量函数
函数
满足当自变量
改为其旋转量
时,函数值
必相应地
变为其旋转量
,即:
通过正交变换,使
从而使
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张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数
例子请见《张量分析》的92~93页。
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矢量的标量函数
Cauchy基本表示定理:
矢量
的标量函数
为各向同性
f可表示为内积
的函数。
推论:
矢量
的标量函数
为各向同性
f可表示为
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