1996年考研数学二试题及答案.pdf

文档介绍：该【1996年考研数学二试题及答案 】是由【闰土】上传分享，文档一共【16】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【1996年考研数学二试题及答案 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:.
超级狩猎者
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,.)
x2

(1)设y(xe2)3,则y______.
x0
1
(2)(x1x2)2dx______.
1
(3)微分方程y2y5y0的通解为______.
31
(4)limxsinln(1)sinln(1)______.

xxx
1
(5)由曲线yx,x2及y2所围图形的面积S______.
x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设当x0时,ex(ax2bx1)是比x2高阶的无穷小,则()
1
(A)a,b1(B)a1,b1
2
1
(C)a,b1(D)a1,b1
2
(2)设函数f(x)在区间(,)内有定义,若当x(,)时,恒有|f(x)|x2,则x0
必是f(x)的()
(A)间断点(B)连续而不可导的点
(C)可导的点,且f(0)0(D)可导的点,且f(0)0
(3)设f(x)处处可导,则()
(A)当limf(x),必有limf(x)
xx
(B)当limf(x),必有limf(x)
xx
(C)当limf(x),必有limf(x)
xx
(D)当limf(x),必有limf(x)
xx
11
(4)在区间(,)内,方程|x|4|x|2cosx0()
(A)无实根(B)有且仅有一个实根
:.
超级狩猎者
(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根
(5)设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)f(x)m(m为常数),由曲线yg(x),
yf(x),xa及xb所围平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为()
b
(A)2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx
a
b
(B)2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx
a
b
(C)mf(x)g(x)f(x)g(x)dx
a
b
(D)mf(x)g(x)f(x)g(x)dx
a
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
ln22x
(1)计算1edx.
0
dx
(2)求.
1sinx
t
xf(u2)du,d2y
(3)设0其中f(u)具有二阶导数,且f(u)0,求.
dx2
y[f(t2)]2,

1x
(4)求函数f(x)在x0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.
1x
(5)求微分方程yyx2的通解.
(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴与底面成

角(0)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.
2

四、(本题满分8分)
arctanx
计算不定积分dx.
x2(1x2)
:.
超级狩猎者
五、(本题满分8分)
12x2,x1,

设函数f(x)x3,1x2,

12x16,x2.

(1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式;
(2)g(x)是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.
六、(本题满分8分)
设函数yy(x)由方程2y32y22xyx21所确定,试求yy(x)的驻点,并判别
它是否为极值点.
七、(本题满分8分)
设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,试证明:
存在(a,b)和(a,b),使f()0及f()0.
八、(本题满分8分)
设f(x)为连续函数,
yayf(x),

(1)求初值问题的解y(x),其中a为正的常数;
y0

x0
k
(2)若|f(x)|k(k为常数),证明:当x0时,有|y(x)|(1eax).
a
:.
超级狩猎者
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
1
(1)【答案】
3
1
xx
231211
【解析】yxe21e2,y1.

32x0323
(2)【答案】2
【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有
11
原式x22x1x21x2dx2x1x21dx022.

11
【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:
a
若f(x)在[a,a]上连续且为奇函数,则f(x)dx0;
a
aa
若f(x)在[a,a]上连续且为偶函数,则f(x)dx2f(x)dx.
a0
yexccos2xcsin2x
(3)【答案】
12
【解析】因为y2y5y0是常系数的线性齐次方程,其特征方程r22r50有
一对共轭复根r,r1exccos2xcsin2x.
1212
(4)【答案】2
kkk
【解析】因为x时,sinln1ln1(k为常数),所以,
xxx
3131
原式limxsinln1limxsinln1limxlimx312.
xxxxxxxx
1
(5)【答案】ln2
2
2
11x1
【解析】曲线yx,y2的交点是1,2,yx,当x1时

xxx2
1
1yx
yxy2y
(单调上升)在上方,于是x
x
2
21
Sx2dx

1x
121

x2lnx2xln2.

22
1
O12x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
:.
超级狩猎者
(1)【答案】(A)
【解析】方法1:
x2
eaxbx1
x2
22
1xxaxbx1
2!
1
1bxax2x2x2
令,
2
1b0,
1
可得1a,b(A).
a0,2

2
方法2:
ex(ax2bx1)ex2axb
lim洛lim0,
x0x2x02x

有limex2axb1b0b1.
x0
ex2axbex2a12a1
又由limlim0a.
x02xx0222
应选(A).
(2)【答案】(C)
【解析】方法一:首先,当x0时,|f(0)|0f(0)0.
而按照可导定义我们考察
f(x)f(0)f(x)x2
0x0(x0),
xxx
f(x)f(0)
由夹逼准则,f(0)lim0,故应选(C).
x0x
f(x)
方法二:显然,f(0)0,由|f(x)|x2,x(,),得1,x(,0)(0,),即
x2
f(x)
有界,且
x2
f(x)f(0)f(x)
f(0)limlimx0.

x0xx0x2
故应选(C).
方法三:排除法.
令f(x)x3,f(0)0,故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).
:.
超级狩猎者
【相关知识点】定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
(3)【答案】(D)
【解析】方法一:(x)x,则(A),(C)不对;又令f(x)ex,则(B)不对.
故应选择(D).
方法二:由limf(x),对于M0,存在x,使得当xx时,f(x)M.
x00
由此,当xx时,由拉格朗日中值定理,
0
f(x)f(x)f()(xx)f(x)M(xx)(x),
0000
从而有limf(x),故应选择(D).
x
【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导,
那么在(a,b)内至少有一点(ab),使等式
f(b)f(a)f()(ba)
成立.
(4)【答案】(C)
11
【解析】令f(x)|x|4|x|2cosx,则f(x)f(x),故f(x)是偶函数,考察f(x)
在(0,)内的实数个数:
11
f(x)x4x2cosx(x0).

11
首先注意到f(0)10,f()()4()210,当0x时,由零值定
2222
理,函数f(x)必有零点,且由
1311

f(x)x4x2sinx0,
42

f(x)在(0,)单调递增,故f(x)有唯一零点.
2
11
11
当x时,f(x)x4x2cosx()4()210,没有零点;
222
因此,f(x)在(0,)(x)是偶函数,f(x)在(,)有两个零点.
:.
超级狩猎者
故应选(C).
【相关知识点】零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即
f(a)f(b)0),那么在开区间(a,b)内至少有一点,使f()0.
(5)【答案】(B)
y
【解析】
m
yf(x)
yg(x)
Oaxxdxbx
x,xdx
见上图,作垂直分割,相应于的小竖条的体积微元
dV(mg(x))2dx(mf(x))2dx
(mg(x))(mf(x))(mg(x))(mf(x))dx
2mg(x)f(x)f(x)g(x)dx
,
b
于是V2mg(x)f(x)f(x)g(x)dx,
a
故选择(B).
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
(1)【解析】方法一:换元法.
1u
令1e2xu,则xln(1u2),dxdu,
21u2
3u2311311
ln22x
所以1edx2du2(1)du2(2)du
001u201u2201u1u
3
11u233
lnln(23).
21u22
0
方法二:换元法.
cost
令exsint,则xlnsint,dxdt,x:0ln2t:,
sint26
cost1
ln22x
1edx6costdt2sintdt
sintsint
0
26
:.
超级狩猎者
3
ln(csctcott)2cost2ln(23).
2
66
方法三:分部积分法和换元法结合.
ln2ln2
原式exe2x1dxe2x1d(ex)
00
ln2e2x
x2xln2x
ee1edx
00e2x1
令ext,则x:0ln2t:12,
32dt323
原式ln(tt21)ln(23).
21t2122
1
1
【相关知识点】1.cscxdxdxlncscxcotxC,
sinx
dx
0时,lnxx2a2C.
x2a2
dx(1sinx)dx1sinx
(2)【解析】方法一:dx
1sinx(1sinx)(1sinx)cos2x
1sinxdxdcosx
dxsec2xdx
cos2xcos2xcos2x
1
tanxC.
cosx
dxdx
方法二:
1sinxxx
(cossin)2
22
x
d(1tan)
sec2x2
2
dx2C.
xxx
(1tan)2(1tan)21tan
222
方法三:换元法.
x22tant2t
令tant,则x2arctant,dx,sinx,
21t21tan2t1t2
12dt22
原式dt2CC.
2t1t2(1t)21tx
11tan
1t22
(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为
dy
dy2f(t2)f(t2)2t
dt2
4tf(t),
dxdxf(t2)
dt
:.
超级狩猎者
d2yddydtddt1
所以()(4tf(t2))4f(t2)4tf(t2)2t

dx2dtdxdxdtdxf(t2)
4
f(t2)2t2f(t2).

f(t2)
(4)【解析】函数f(x)在x0处带拉格朗日余项的泰勒展开式为
f(n)(0)f(n1)(x)
f(x)f(0)f(0)xxnxn1,(01).
n!(n1)!
1x
对于函数f(x),有
1x
2
f(x)12(1x)11,
1x
f(x)2(1)(1x)2,
f(x)2(1)(2)(1x)3,
,,
f(n)(x)2(1)nn!(1x)(n1)
所以f(n)(0)2(1)nn!,(n1,2,3),
1x2xn1
故f(x)12x2x2(1)n2xn(1)n1(01).
1x(1x)n1
(5)【解析】方法一:微分方程yyx2对应的齐次方程yy0的特征方程为
r2r0,两个根为r0,r1,故齐次方程的通解为yccex.
1212
1
设非齐次方程的特解Yx(ax2bxc),代入方程可以得到a,b1,c2,
3
1
因此方程通解为yccexx3x22x.
123
x3
方法二:方程可以写成(yy)x2,积分得yyc,这是一阶线性非齐次微分方
30
程,
x3
dxdx
ye((c)edxC)
30
:.
超级狩猎者
x31
ex((c)exdxC)ex(x3dexcexC)
3030
ex
(x3ex3exx2dx)cCex
30
x3x3
exexx2dxcCexex(exx22exxdx)cCex
3030
x3
x22ex(exxex)cCex
30
x3
x22xcCex.
31
方法三:作为可降阶的二阶方程,令yP,则yP,方程化为PPx2,这是一阶线性
非齐次微分方程,
Pex(cx2exdx)ex(cx2ex2xex2ex)
00
cexx22x2.
0
x3
再积分得yccexx22x.
123
【相关知识点】:设y*(x)是二阶线性非齐次方程
yP(x)yQ(x)yf(x)(x)是与之对应的齐次方程
yP(x)yQ(x)y0的通解,则yY(x)y*(x)是非齐次方程的通解.
:对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y(x),可用特征方程法求解:即yP(x)yQ(x)y0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程
变为ypyqyprq0,在复数域内解出两个特征根r,r;
12
分三种情况:
(1)两个不相等的实数根r,r,则通解为yCerx1Cer2x;
1212
rryCCxerx;
(2)两个相等的实数根,则通解为1
1212
(3)一对共轭复根ri,则通解为yexCcosxCsinx.其中C,C
1,21212
为常数.
P(x)yQ(x)yf(x)的一个特解y*(x),可用待定
:.
超级狩猎者
系数法,有结论如下:
如果f(x)P(x)ex,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)xkQ(x)ex
mm
的特解,其中Q(x)是与P(x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方
mm
程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果f(x)ex[P(x)cosxP(x)sinx],则二阶常系数非齐次线性微分方程
ln
yp(x)yq(x)yf(x)的特解可设为
y*xkex[R(1)(x)cosxR(2)(x)sinx],
mm
其中R(1)(x)与R(2)(x)是m次多项式,mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征
mm
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
P(x)yQ(x)的通解为
P(x)dxP(x)dx
yeQ(x)edxC,其中C为任意常数.

x2y2
(6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为1.
a2b2
方法一:以垂直于y轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,
a
其中一条直角边长为xb2y2,
b
a
另一条直角边长为b2y2tan,
b
故截面面积为
1a2
S(y)(b2y2)tan.
2b2
楔形体的体积为
ba2b2
V2S(y)dytan(b2y2)dya2btan.
0b203
方法二:以垂直于x轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,
b
其中一条边长为2y2a2x2,
a
另一条边长为xtan,
故截面面积为
b
S(x)2xa2x2tan,
a
楔形体的体积为
:.
超级狩猎者
a2ba2
V2S(x)dxtanxa2x2dxa2btan.
0a03
四、(本题满分8分)
【解析】方法一:分部积分法.
arctanxarctanxarctanx
dxdxdx
x2(1x2)x21x2
1
arctanxd()arctanxd(arctanx)
x
1dx1
分部arctanxarctan2x
xx(1x2)2
11x1
arctanx()dxarctan2x
xx1x22
111
arctanxlnxln(1x2)arctan2xC.
x22
方法二:换元法与分部积分法结合.
令arctanxt,则xtant,dxsec2tdt,
arctanxtsec2tt
dxdtdttcot2tdt
x2(1x2)tan2t(1tan2t)tan2t
t(csc2t1)dttd(cott)tdt
1
分部tcottcotdtt2
2
cosx1
tcottdtt2
sinx2
11
tcottdsintt2
sint2
1
tcottlnsintt2C.
2
五、(本题满分8分)
【分析】为了正确写出函数f(x)的反函数g(x),并快捷地判断出函数g(x)的连续性、可导
性,须知道如下关于反函数的有关性质.
【相关知识点】反函数的性质:①若函数f(x)是单调且连续的,则反函数g(x)有相同的单
1
调性且也是连续的;②函数f(x)的值域即为反函数g(x)的定义域;③g(x),
f(x)
故函数f(x)的不可导点和使f(x)0的点x对应的值f(x)均为g(x)的不可导点.
:.
超级狩猎者
【解析】(1)由题设,函数f(x)的反函数为
1x
,x1,
2


g(x)3x,1x8,

x16
,x8.
12

(2)方法一:考察f(x)
12x2,x1,

f(x)x3,1x2,

12x16,x2

在(,1),(1,2),(2,)区间上f(x)分别与初等函数相同,1,x2处分
别左、右连续,
4x,x1,

f(x)3x2,1x2,f(1)4,f(1)3,


12,x2
f(2)12,f(2)12f(2)12.

由于函数f(x)在(,)内单调上升且连续,故函数g(x)在(,)上单调且连续,
没有间断点.
由于仅有x0时f(x)0且f(0)0,故x0是g(x)的不可导点;仅有x1是
f(x)的不可导点(左、右导数,但不相等),因此g(x)在f(1)1处不可导.
方法二:直接考察g(x)
1x
,x1,
2


g(x)3x,1x8,

x16
,x8,
12

在(,1),(1,8),(8,)区间上g(x)分别与初等函数相同,1,x8处分
别左、右连续,故连续,即g(x)在(,)连续,没有间断点.
g(x)在(,1),(1,8),(8,)内分别与初等函数相同,这些初等函数只有3x在
:.
超级狩猎者
x0不可导,1处,

1x11
g(1),g(1)3x,
243

x1
x1
g(1)不.在x8处,

1x161
g(8)3x,g(8),
121212

x8
x8
g(8).
因此,g(x)在(,)内仅有x0与x1两个不可导点.
六、(本题满分8分)
【解析】方程两边对x求导,得
3y2y2yyxyyx0,(3y22yx)yyx0.①
令y0,得yx,代入原方程得2x3x210,解之得唯一驻点x1;对①两边再求导
又得
(3y22yx)y(3y22yx)yy10.②
x
以xy1,y0代入②得
1
2y10,y0,
x12
x1是极小点.
【相关知识点】:通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点).
.
当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定f(x)在
驻点处取得极大值还是极小值.
定理:设函数f(x)在x处具有二阶导数且f(x)0,f(x)0,那么
000
(1)当f(x)0时,函数f(x)在x处取得极大值;
00
(2)当f(x)0时,函数f(x)在x处取得极小值.
00
七、(本题满分8分)
【解析】首先证明(a,b),使f()0:
:.
超级狩猎者
方法一:(x)在(a,b)(a)0,
f(b)0.
f(x)f(a)
由limf(a)f(a)0与极限局部保号性,知在xa的某右邻域,
xa
xa
f(x)f(a)
0,从而f(x)0,因而x,bxa,f(x)0;类似地,由f(b)0可证
xa111
x,xxb,f(x),(x,x)(a,b),使f()0.
212212
方法二:(a,b)内f(x)0,则由f(x)的连续性可得f(x)0,或f(x)0,
不妨设f(x),
f(x)f(a)f(x)
f(a)f(a)limlim0,
xaxa
xaxa
f(x)f(b)f(x)
f(b)f(b)limlim0,
xbxb
xbxb
从而f(a)f(b)0,与f(a)f(b)0矛盾.
其次,证明(a,b),f()0:
由于f(a)f()f(b)0,根据罗尔定理,
(a,),(,b),使f()f()0;又由罗尔定理,
1212
(,)(a,b),f()0.
12
注:由f(x)0可得:在(x,x),f(x)f(x);在(x,x),f(x)f(x).注意
0000000
由f(x)0得不到f(x)在(x,x)单调增的结果!
000
【相关知识点】:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即
f(a)f(b)0),那么在开区间(a,b)内至少有一点,使f()0.
2.