文档介绍：该【因式分解的方法(目前最牛的课程教案) 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【45】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【因式分解的方法(目前最牛的课程教案) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。,.
因式分解的常方法
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学
之中,,技巧性强,学习这些
方法与技巧,不但是掌握因式分解内容所必要的,并且关于培育学生的解题技术,发展
学生的思想能力,、
运用公式法、,对因式
分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
用方法
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用
的公式,比方:
(1)(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b);
(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)(a+b)(a
2-ab+b
2)=a3+b3------
a3
+b3=(a+b)(a
2-ab+b2);
(4)(a-b)(a
2+ab+b
2)=a3-b3------
a3
-b3=(a-b)(a
2+ab+b2).
下边再增补两个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
,.
,b,c是ABC的三边,且a2
b2
c2
abbc
ca,
则
ABC的形状是(
)
B等腰三角形
C等边三角形
D等腰直角三角形
解:a2
b2
c2
abbc
ca
2a2
2b2
2c2
2ab
2bc2ca
(ab)2
(bc)2
(ca)2
0
abc
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:amanbmbn
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不可以运用公式分解,但
从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,所以可以考虑将前两项分
为一组,后两项分为一组先分解,而后再考虑两组之间的联系。
解:原式=(am
an)
(bm
bn)
=a(m
n)
b(m
n)
每组之间还有公因式!
(mn)(ab)
例2、分解因式:2ax10ay5bybx
解法一:第一、二项为一组;
解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解:原式
=(2ax10ay)
=2a(x5y)
=(x5y)(2a
(5bybx)
b(x5y)
b)
原式=
=
=
(2axx(2a(2a
bx)
b)
b)(x
(10ay
5y(2ab)
5y)
5by)
练习:分解因式
1、
a2
ab
ac
bc
2、
xy
x
y1
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:x2y2axay
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,固然可以提公因式,但提完后
就能连续分解,所以只好别的分组。
,.
2
解:原式=(x
=(x
y2)(axay)
y)(xy)a(xy)
y)(xya)
例4、分解因式:
a2
2ab
b2
c2
解:原式=
(a2
2ab
b2)
c2
=
(a
b)2
c2
=(a
b
c)(ab
c)
练习:分解因式3、x2
x
9y2
3y4、x2
y2
z2
2yz
综合练习:(1)x3
x2y
xy2
y3
(2)ax2
bx2
bx
ax
a
b
(3)x2
6xy
9y2
16a
2
8a1(4)a2
6ab
12b
9b2
4a
(5)a4
2a3
a2
9
(6)4a2x4a2yb2xb2y
(7)x2
2xy
xz
yz
y2
(8)a2
2a
b2
2b
2ab
1
(9)y(y
2)
(m
1)(m
1)
(10)(a
c)(a
c)
b(b2a)
(11)a2(bc)
b2(ac)
c2(a
b)2abc(12)a3
b3
c3
3abc
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。
特色:(1)二次项系数是1;
2)常数项是两个数的乘积;
3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思虑:十字相乘有什么基本规律?
<a≤5,且a为整数,若2x23xa能用十字相乘法分解因式,求吻合条件
的a.
分析:凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求b24ac>0
并且是一个完整平方数。
于是98a为完整平方数,a1
,.
例5、分解因式:x2
5x
6
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于
5。
因为6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)
×(-6),从中可以发现只有
2×3的分解合适,
即2+3=5。
1
2
解:x2
5x6=x2
(23)x23
1
3
=(x
2)(x3)
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的要点:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:x2
7x
6
解:原式=x2
[(
1)
(
6)]x
(
1)(
6)
1
-1
=(x
1)(x
6)
1
-6
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式(1)
x2
14
x
24
(2)
a2
15a
36(3)x2
4x
5
练习6、分解因式(1)
x2
x
2
(2)
y2
2y15
(3)x2
10x
24
(二)二次项系数不为
1的二次三项式——
ax2
bx
c
条件:(1)a
a1a2
a1
c1
(2)cc1c2
a2
c2
(3)ba1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
分解结果:ax2
bx
c=(a1xc1)(a2x
c2)
例7、分解因式:3x211x10
分析:
1
-2
,.
-5
-6)+(-5)=-11
解:3x2
11x10
=(x
2)(3x
5)
练习7、分解因式:(1)5
x2
7x
6
(2)3x2
7x2
(3)10x2
17x
3
(4)6y2
11y10
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:a28ab128b2
分析:将b看作常数,把原多项式看作关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=-8b
解:a2
8ab128b2
=a
2
[8b
(16b)]a8b(16b)
=(a
8b)(a
16b)
练习8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2
(四)二次项系数不为1
的齐次多项式
例9、2x2
7xy
6y2
例10、x2y2
3xy
2
1
-2y
把xy看作一个整体1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=-7y
(-1)+(-2)=-3
解:原式=(x2y)(2x
3y)
解:原式=(xy
1)(xy
2)
练习9、分解因式:(1)15x2
7xy
4y2
(2)a2x2
6ax
8
综合练习10、(1)8x6
7x3
1
(2)12x2
11xy
15y2
(3)(xy)2
3(xy)10
(4)(ab)2
4a4b3
(5)x2y2
5x
2y
6x2
(6)m2
4mn
4n2
3m6n2
(7)x2
4xy
4y2
2x
4y
3(8)5(a
b)2
23(a2
b2)
10(a
b)2
(9)4x2
4xy
6x
3y
y2
10(10)12(x
y)2
11(x2
y2)2(x
y)2
,.
思虑:分解因式:abcx2(a2b2c2)xabc
五、换元法。
例13、分解因式(1)2005x2
(20052
1)x
2005
(2)(x1)(x
2)(x3)(x
6)
x2
解:(1)设2005=a,则原式=ax2
(a2
1)xa
=(ax
1)(x
a)
=(2005x1)(x
2005)
(2)型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2
7x6)(x2
5x6)x2
设x2
5x
6A,则x2
7x6A2x
∴原式=(A
2x)Ax2
=A2
2Ax
x2
=(Ax)2=(x2
6x6)2
练习13、分解因式(
1)(x2
xy
y2)2
4xy(x2
y2)
(2)(x2
3x
2)(4x2
8x
3)90
(3)(a2
1)2
(a2
5)2
4(a2
3)2
例14、分解因式(1)2x4
x3
6x2
x2
观察:此多项式的特色——是关于x的降幂摆列,每一项的次数挨次少1,并且系数成
“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,而后再用换元法。
解:原式=x
2
(2x
2
x
1
1
2
2(x
2
1
)
(x
1
6
x
2)=x
x
2
)6
x
x
设x
1
t,则x2
1
t2
2
x
x2
∴原式=x2
(2t2
2)
t6=x22t2
t
10
=x22t
5t
2=x22x
2
5x
1
2
x
x
=x·2x
2
5·x·x
1
2=
2x2
5x2x2
2x1
x
x
=(x
1)2(2x
1)(x
2)
,.
(2)x4
4x3
x2
4x
1
2
2
4
1
=x
2
x
2
1
4x
1
1
解:原式=x
(x
4x
1
x
x2)
x2
x
设x
1
y,则x2
1
y2
2
x
x2
∴原式=x2(y2
4y
3)=x2(y
1)(y
3)
=x2(x
1
1)(x
1
3)=x2
x1x2
3x1
x
x
练习14、(1)6x4
7x3
36x2
7x
6
(2)x4
2x3
x2
12(xx2)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(
1)x3
3x2
4
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=x3
13x2
3
原式=x3
3x2
4x4x4
=
(x
1)(x2
x
1)
3(x
1)(x1)
=
x(x2
3x4)(4x4)
=
(x
1)(x2
x
13x
3)
=
x(x1)(x4)4(x1)
=(x
1)(x2
4x
4)
=(x1)(x2
4x4)
=(x1)(x2)2
=(x1)(x2)2
(2)x9
x6
x3
3
解:原式=(x9
1)
(x6
1)
(x3
1)
=(x3
1)(x6
x3
1)
(x3
1)(x3
1)(x3
1)
=(x3
1)(x6
x3
1x3
11)
=(x
1)(x2
x
1)(x
6
2x3
3)
练习15
、分解因式
(1)x3
9x
8
(2)(x1)4
(x2
1)2
(x1)4
(3)x
4
7x2
1
(4)x4
x2
2ax
1
a2
(5)x4
y4
(xy)4
(6)2a2b2
2a2c2
2b2c2
a4
b4
c4
七、待定系数法。
例16、分解因式x2
xy6y2
x13y6
,.
分析:原式的前
3
项x2
xy
6y2可以分为(x
3y)(x
2y),则原多项式必定可分为
(x
3y
m)(x
2y
n)
解:设x2
xy
6
y2
x
13
y
6=(x3y
m)(x2y
n)
∵(x
3y
m)(x
2y
n)=x2
xy
6y2
(m
n)x(3n2m)ymn
∴x2
xy
6y2
x
13y
6
=x2
xy6y2
(mn)x
(3n2m)ymn
m
n
1
m2
比较左右两边同样项的系数可得
3n
2m13
,解得
3
mn
6
n
∴原式=(x
3y2)(x2y
3)
例17、(1)当m为什么值时,多项式
x2
y2
mx
5y
6能分解因式,并分解此多项式。
(2)假如x3ax2
bx
8有两个因式为
x1和x
2,求ab的值。
(1)分析:前两项可以分解为(x
y)(x
y),故此多项式分解的形式必为
(x
y
a)(x
y
b)
解:设x2
y2
mx
5y
6
=(x
y
a)(x
yb)
则x2
y2
mx5y6=x2
y2
(ab)x(ba)yab
a
b
m
a
2
a
2
比较对应的系数可得:
b
a
5,解得:
b
3
或b
3
ab
6
m
1
m
1
∴当m
1时,原多项式可以分解;
当
m
1
时,原式=
(x
y
2)(x
y
3)
;
当m
1时,原式=(x
y
2)(xy
3)
(2)分析:x3
ax2
bx
8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,所以第三个
因式必为形如x
c的一次二项式。
解:设x3
ax2
bx
8
=(x
1)(x2)(x
c)
则x3
ax2
bx
8
=x3
(3
c)x2
(2
3c)x
2c
a3c
a7
b23c解得b14,
2c8c4
∴ab=21
练习17、(1
)分解因式
x2
3xy
10y2
x
9y
2
(2
)分解因式
x2
3xy
2y2
5x
7y
6
,.
(3)已知:x2
2xy
3y2
6x14y
p能分解成两个一次因式之积,
求常数p
并且分解因式。
(4)k为什么值时,x2
2xy
ky2
3x
5y2能分解成两个一次因式的乘积,
并分解此多项式。
第二部分:习题大全
经典一:
一、填空题
1.
把一个多项式化成几个整式的
_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2
分解因式:
m3-4m=
.
3.
分解因式:
x2-4y2=__
_____.
4
、分解因式:
x2
4x4=_________________。
5.
将xn-yn分解因式的结果为
(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为
.
6
、若xy
5,xy
6,则x2y
xy2
=_________,2x2
2y2
=__________。
二、选择题
7
、多项式15m3n2
5m2n
20m2n3
的公因式是(
)
A、5mn
B、5m2n2
C、5m2n
D、5mn2
8、以下各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A、a3a3a2
9
B、a2b2
abab
2
3
C、
a2
4a5aa45
m2m3mm2
m
D、
()
(A)x2-y
(B)x2+1
(C)x2+y+y
2
(D)x2-4x+4
(x-y)2-(y-x)分解因式为(
)
.(x-y)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)
,.
B.(y-x)(x-y-1)
D.(y-x)(y-x+1)
()
+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
-12xy+9x
2是一个完整平方式,那么
k应为(
)
三、把以下各式分解因式:
14、nx
ny
15、4m2
9n2
16、mmnnnm17、a32a2bab2