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2021/8/11星期三
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(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则
称f(x)为偶函数.
一、函数的奇偶性
(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则
称f(x)为奇函数.
二、简单性质
研究半个区间!
,
偶函数的图象关于y轴对称.
反之成立!
:
:f(0)=0(0在定义域中),偶函数:f(x)=f(|x|).
(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;若函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.
例:函数f(x)=0(x∈D,D关于原点对称)是既奇又偶函数.
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三、函数奇偶性的判定方法
:
首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;
若对称,再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
,借助函数的图象判定:
:
在公共定义域内,
两奇函数之积(商)为偶函数;
两偶函数之积(商)也为偶函数;
一奇一偶函数之积(商)为奇函数.
(注意取商时分母不为零!)
有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0
或判定=1.
f(x)
f(-x)
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四、函数的周期性
如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,
都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数,T为函数的一个周
(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为函数的最小正周期.
五、典型例题
:
偶函数
奇函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
若周期函数f(x)的最小正周期为T,则f(x)(0)也为周期函数,且最小正周期为.
||
T
(1)f(x)=;
2x
(1+2x)2
(2)f(x)=lg(x+x2+1);
(3)f(x)=log2(1-x2+x2-1+1);
(4)f(x)=(1-x);
1-x
1+x
奇函数
(5)f(x)=;
|x+3|-3
lg(1-x2)
偶函数
(6)f(x)=x(+).
3x-1
1
1
2
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2.(1)设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性:①F(x)=[f(x)+f(-x)];②G(x)=[f(x)-f(-x)];
1
2
1
2
(2)试将函数y=2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数,若f(x)-g(x)=()x,比
1
2
较f(1)、g(0)、g(-2)的大小.
(x)的定义域关于原点对称,且满足:①存在正常
数a,使f(a)=1;②f(x1-x2)=.求证:(1)f(x)是奇函
数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.
f(x1)f(x2)+1
f(x2)-f(x1)
f(1)>g(0)>g(-2)
偶函数
奇函数
y=(2x-2-x)+(2x+2-x)
1
2
1
2
g(x)=-(2-x+2x).
1
2
f(x)=(2-x-2x),
1
2
f(a+x)=1-,
f(x)+1
2
f(2a+x)=-,
f(x)
1
f(4a+x)=f(x).
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=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时f(x)的表达式.
∈R,都有f(a+x)=f(a-x),且f(b+x)=f(b-x),其中b>(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.
(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
(x)是定义在R上的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)且f(0)0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)若存在正数m,使f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T(T0)的值.
f(x)=
2x+7(-4≤x≤-2)
-2x-1(-2<x≤0)
0,
0,
f(-1)=0,f(-b)=-f(b),奇函数
(1)f(0)=1,f(-b)=f(b),
(2)考虑f(a+m),f(a+2m),f(a+4m).
∈R,都有f(x)=f(2a-x),且f(x)+f(2b-x)=2c,其中a(x)是以4(a-b)为周期的周期函数.
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(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数,且f(1)>1,f(2)=a,则()
><-><-1
(x)在x>0时的表达式为f(x)=2x-,则当
x<- 时有()
1
2
1
4
(x)>(x)<0 (x)+f(-x)<(x)+f(-x)>0
课堂练****br/>(x)=的奇偶性是()
|x-2|
4-x2
D
B
C
=f(x-1)是偶函数,则y=f(x)的图象关于()
+1=-1=0对称
-=
1
2
A
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(x)在[3,7]上是增函数,在[3,6]上的最大值为8,
最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为()
.-5C.-13D.-15
(x)在[-1,0]上是减函数,,是锐角三角形的两
个内角,且,则下列不等式中正确的是()
(cos)>f(cos)(sin)>f(sin)
(cos)<f(cos)(sin)<f(cos)
D
D
(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(m,n)对称,其中m(x)是以4(a-m)为周期的周期函数.
证:由已知,f(x)=f(2a-x),且f(x)+f(2m-x)=2n,
∴f[4(a-m)+x]=f[2a-(4m-2a-x)]
=f(4m-2a-x)=f[2m-(2a+x-2m)]
=2n-f(2m-x)=2n-[2n-f(x)]=f(x).
∴f(x)是以4(a-m)为周期的周期函数.
=2n-f(2a+x-2m)=2n-f[2a-(2m-x)]
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