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2021/8/11星期三
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一、复习目标
了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义、掌握函数y=xn(nN*)的导数公式、会求多项式函数的导数.
二、重点解析
导数的几何意义是曲线的切线的斜率,导数的物理意义是某时刻的瞬时速度.
无限逼近的极限思想是建立导数概念,用导数定义求函数的导数的基本思想.
导数的定义:
利用定义求导数的步骤:(1)求y;
x
y
(2)求;
x
y
(3)取极限得f(x)=lim.
x0
f(x)=lim.
x
f(x+x)-f(x)
x0
三、知识要点
2021/8/11星期三
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对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Dx,那么函数y相应的有增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0),比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率,即=.
x
y
x
y
x
f(x0+x)-f(x0)
x
y
如果当Dx0时,有极限,就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作:
f(x0)或y|x=x0,即:
x
f(x0+x)-f(x0)
f(x0)=lim=lim.
x0
x
y
x0
函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即:k=tan=f(x0).

(1)几何意义:
(2)物理意义:
函数S=s(t)在点t0处的导数s(t0),就是当物体的运动方程为S=s(t)时,物体运动在时刻t0时的瞬时速度v,即:v=s(t0).

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(1)c=0(c为常数),(xn)=nxn-1(nQ);
(x),g(x)有导数,那么:
[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x),
[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x),
[cf(x)]=cf(x).
典型例题1
解:(1)∵y=3x3+6x,
∴y=(3x3)+(6x)
求下列函数的导数:(1)y=3x(x2+2);(2)y=(2+x3)2;
(2)∵y=4+4x3+x6,
(3)y=(x-1)(2x2+1);(4)y=(2x2+3)(3x-2).
=9x2+6.
∴y=4+(4x3)+(x6)
=12x2+6x5.
(3)∵y=2x3-2x2+x-1,
∴y=6x2-4x+1.
(4)∵y=6x3-4x2+9x-6,
∴y=18x2-8x+9.
2021/8/11星期三
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典型例题2
已知f(x)的导数f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且f(0)=2a,若a≥2,求不等式f(x)<0的解集.
解:∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,
∴可设f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.
∵f(0)=2a,
∴b=2a.
∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a
=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)
=(x-a)(x2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-a)
令(x+1)(x-2)(x-a)<0,由于a≥2,则
当a=2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1);
当a>2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(2,a).
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典型例题3
已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.
解:由已知直线l过原点且其斜率k=,
x0
y0
∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=x03-3x02+2x0.
∴=x02-3x0+2.
x0
y0
又y=3x2-6x+2,
∴在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y|x=x0.
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.
整理得2x02-3x0=0.
解得x0=(∵x00).
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这时y0=-,k=-.
3
8
1
4
∴直线l的方程为y=-x,
1
4
切点坐标是(,-).
3
8
3
2
注有关曲线的切线问题,,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.
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典型例题4
求曲线y=2-x2与y=x3-2的交点处切线的夹角(用弧度数作答).
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解:由y=2-x2与y=x3-2联立方程组解得交点坐标为P(2,0).
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∵y=2-x2的导函数为y=-x,
1
2
∴它在P处的切线斜率k1=-2,
同理,曲线y=x3-2在P处的切线斜率k2=3,
1
4
由夹角公式tan=||=1得
k2-k1
1+k2k1

4
=.
故两曲线的交点处切线的夹角为.

4
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典型例题5
求曲线y=x3+3x2-5过点M(1,-1)的切线方程.
解:由y=x3+3x2-5知y=3x2+6x,
设切点为P(x0,y0),则
y|x=x0=3x02+6x0,
曲线在点P处的切线方程为
y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).
又切线过点M(1,-1),
∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),
即y0=3x03+3x02-6x0-1.
而点P(x0,y0)在曲线上,满足y0=x03+3x02-5,
∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.
整理得x03-3x0+2=0.
解得x0=1或x0=2.
∴切点为P(1,-1)或P(-2,-1).
故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-1.
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课后练习1
求下列函数的导数:(1)y=(x2+1)(x-2);(2)y=(x-1)(x3+2x+6).
解:(1)∵y=x3-2x2+x-2,
∴y=(x3)-(2x2)+(x)-2
(2)∵y=x4-x3+2x2+4x-6,
=3x2-4x+1.
∴y=(x4)-(x3)+(2x2)+(4x)-6
=4x3-3x2+4x+4.
课后练习2
一质点作直线运动,它所经过的路程S(单位:m)和时间t(单位:s)的关系是S=3t2+t+1.(1)求[2,]这段时间内质点的平均速度;(2)当t=2时的瞬时速度.
解:(1)∵S=3++1-(322+2+1)
=.
=

∴v=
t
S
=(m/s).
(2)∵v=S
=6t+1.
∴v|t=2=13.
即当t=2时,质点运动的瞬时速度为13m/s.
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课后练习3
已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x)、g(x)的表达式.
解:∵f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0),
∴a=-8.
∴f(x)=2x3-8x.
∴f(x)=6x2-8.
∵g(x)=bx2+c的图象也过点P(2,0),
∴4b+c=0.
又g(x)=2bx,
4b=g(2)=f(2)=16,
∴b=4.
∴c=-16.
∴g(x)=4x2-16.
综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.
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