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学年学期2013~2014学年第1学期考核方闭卷
式
课程名称线性代数BA/B卷(A)卷
课程号1102104学分2学时32
题号一二三四五六七八九十总分
分数18161515101016
阅卷人
一、填空与选择题(6318)
000a
1
00a0
2()n(n-1)
的值是__-12aa...a___________.
12n
0a00
n1
a000
n
,且A=2,A*是A的伴随矩阵,则6A-1-A*=___128______.
xx2x0
123
__2____时,方程组x2xx0有非零解
123
xxax0
123
aaaaaa
123123
bbb,Bccc,若初等矩阵P,使得PAB,
123123
cccbbb
123123
æ100ö
则P=___ç001÷______
ç÷
è010ø
1,2,0,1它们的余子式依次为5,3,7,4,则D
=_____-15___
=A,且A0则一定有:(D)
(A)AE(B)A0(C)矩阵AE一定可逆(D)矩阵AE一定可逆
1
二、(16分)计算下列行列式
2322
3101
(10分)
4213
5410
解:
232-2-6-104
3-1013-101
D==3
421-3421-3
54-10960-3
-2-14
=91-116
12-1
-303
=91-118
301
-33
=-9=10810
31
xnn121
nxn121
nn1x21
(6分)
n1
nn1n2x1
nn1n211
x-n1110
0x-n+1110
00x-n+210
解:D=.............3
n+1
000x-10
nn-1n-211
2
x-n111
0x-n+111
=(-1)2n+2...........5
000x-21
0000x-1
n
=(x-i)...........6
i=1
211
112
三、(15分)设A213,B,求
101
111
1、A3E2、A13、若XAB,求矩阵X.
解:(1)
æ2-11öæ300ö
A-3E=ç213÷-ç030÷...........2
ç÷ç÷
è1-11øè003ø
æ-1-11ö
=ç2-23÷......................3
ç÷
è1-1-2ø
(2)
æ2-11100ö
(AE)=ç213010÷...........2
ç÷
è1-11001ø
æ10-1ö
ç100÷
11-
®ç010441÷..................7
ç÷
001-311
èç44ø÷
所以
æ10-1ö
ç÷
11-1
A-1=ç44÷..................8
ç÷
-311
èç44ø÷
3
(3)
X=BA-1..................................2
æ-31ö
442
=ç÷..................4
ç-712÷
èç44ø÷
2231÷
1-3-21÷
四、(15分)设矩阵A=(a,a,a,a)=1033÷,求
1234
--÷
1321÷
÷
è320-2
1、矩阵A的列向量组的秩
2、A的列向量组的一个极大无关组
3、将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合
解:由
æ2231öæ1033ö
ç1-3-21÷ç0187÷
ç÷ç÷
(a,a,a,a)=1033®0011..............5
1234ç÷ç÷
ç-132-1÷ç0000÷
ç÷ç÷
è320-2øè0000ø
æ1000ö
ç010-1÷
ç÷
®ç0011÷............................7
ç0000÷
ç÷
è0000ø
得
……………………….2
,a,a
123……………….3
=-a+a
423………………………3
,,,,
五、(10分)设列向量组123线性相关,列向量组234线性无关,证
,
明:(1)一定可由23线性表示;
1
(2)不可由,,线性表示。
4123
4
证明:(1)由向量组,,线性无关,得,
23423线性无关,………….3
,,线性相关,得一定可由,线性表示。………………...5
又由123123
,,
(2)假设4可由123线性表示,…………………………..…….2
,
由(1)得1可由23线性表示,……………………………….………..3
a,a,,
则4可由23线性表示,得234线性相关,…………..…………..…4
,,
与题设矛盾。所以假设不成立。所以4不可由123线性表示。…………..5
212

六、(10分)求矩阵A533的所有特征值和特征向量。

102
解:由EA(1)30……………………4
212
533
102
得矩阵所有特征值为l=-1……………………………….………………6
æ-31-2öæ101ö
当l=-1时,(lE-A)=ç-52-3÷®ç011÷
ç÷ç÷
è101øè000ø
…………………8
æ-1ö
矩阵A的特征向量为kç-1÷,k为不为零的任意常数。…………10
ç÷
è1ø
ì(3-l)x+x-x=1
ï123
七、(16分)取何值时非齐次线性方程组í6x+(4-l)x-3x=3
123
ï-6x-3x+(4-l)x=-l-2
î123
有唯一解、无解、有无穷多个解?并在有无穷多解时,求出其通解
解:方程组的系数行列式为
3-l1-1
A=64-l-3=-(l-1)2(l-9)
…………………………….2
-6-34-l
5
A=0l=1,l=9,
令得12。…………………4
l
1,l9
当1且2时,方程组有唯一解。……………………6
l=1
当1时,方程组的增广矩阵
æ21-11öæ21-11ö
(A,b)=ç63-33÷®ç0000÷
ç÷ç÷
è-6-33-3øè0000ø
…………………8
因为
R(A,b)=R(A)=1<3
原方程组有无穷多解………………………………….10
通解为
xkkk,k
1121112为任意常数。……………………12
222
100

010
当l=9时,方程组的增广矩阵
2
æ-61-11öæ-61-11ö
(A,b)=ç6-5-33÷®ç011-1÷.........14
ç÷ç÷
è-6-3-5-11øè0001ø
因为R(A,b)R(A)原方程组无解………………………………….16
6