文档介绍：小波分析及其应用
学院理学院
专业名称信息与计算科学
班级学生姓名学号 1007110114
摘要
小波分析是传统傅里叶分析发展史上里程碑式的发展,近年来成为众多学科共同关注的热点。文章在小波变换的基础上将其应用于信号去噪中,利用小波方法去噪,是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数,通过对几种去噪方法不同阀值的选取比对分析和基于MATLAB信号去噪的仿真试验,比较各种阀值选取队去噪效果的影响。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。它与Fourier变换、窗口Fourier变换(Gabor变换) 相比, 是一个时间和频率的局域变换,因而能有效地从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis)解决了Fourier变换不能解决的许多问题, 从而小波变化被誉为“数学显微镜”, 它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
一、小波变换的概念
设ψ(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间,即能量有限的空间信号)其Fourier变换为ψ,当ψ满足容许条件: ∧∧
(w)∧2
cψ=?
Rw<∞
此时,称ψ(t)为基小波或母小波(Mother Wavelet)。由容许条件可以推
ψ(w)必论出:基小波ψ(t)至少满足ψ(w=0)=0,也即?ψ(t)=0。也就是说,
须具有带通性质。
将母小波经伸缩和平移得小波序列,又称子小波:
∧∧
ψa,b(t)=(t-b) a,b∈R;a≠0 a
其中,a为伸缩因子或尺度因子,将基本小波做伸缩;b为平移因子,将基本小波做移位。
信号f(t)的小波变换定义为:
1
Wψf(a,b)=+∞
-∞f(t)(t-b)dt a
mm取a=a0,b=nb0a0,a0>1,b0∈R,则信号f(t)的离散小波变换为:
Wψf(m,n)=a0-m2?+∞
-∞-mf(t)(a0-nb0)dt
-mm由上式知,对不同的频率成分a0,在时域上的取样步长为
b0a0,是可
调的,高频者(对应小的m值)采样步长小,低频者(对应大的m值)采样步长大。也就是说,小波变换能实现了窗口的大小固定,形状可变的时频局部化,正是这个意义上小波变换被誉为数学“显微镜”。
二、小波变换在去噪中的应用
1、小波去噪模型的建立
如果一个信号f(n)被噪声污染后为s(n),那么基本的噪声模型就可以表示为 s(n)=f(n)+σe(n)
式中:e(n)为噪声;σ为噪声强度。最简单的情况下e(n)为高斯白噪声,且σ=1。小波变换就是要抑制e(n)以恢复f(n),从而达到去除噪声的目的。从统计学的观点看,这个模型是一个随时间推移的回归模型,也可以看作是在正交基上对函数f(n)无参估计。小波去噪通常通过以下3个步骤予以实现:
a)小波分解;
b)设定各层细节的阈值,对得到的小波系数进行阈值处理;
c)小波逆变换重构信号。
小波去噪的结果取决于以下2点:
a)去噪后的信号应该和原信号有同等的光滑性;
b)信号经处理后与原信号的均方根误差越小,信噪比越大,效果越好。