文档介绍：二分类Logistic回归模型
在对资料进行统计分析时常遇到反应变量为分类变量的资料,那么,能否用类似于线性回归的模型来对这种资料进行分析呢?答案是肯定的。本章将向大家介绍对二分类因变量进行回归建模的Logistic回归模型。
第一节模型简介
一、模型入门
在很多场合下都能碰到反应变量为二分类的资料,如考察公司中总裁级的领导层中是否有女性职员、某一天是否下雨、某病患者结局是否痊愈、调查对象是否为某商品的潜在消费者等。对于分类资料的分析,相信大家并不陌生,当要考察的影响因素较少,且也为分类变量时,分析者常用列联表(contingency Table)的形式对这种资料进行整理,并使用检验来进行分析,汉存在分类的混杂因素时,还可应用Mantel-Haenszel检验进行统计学检验,这种方法可以很好地控制混杂因素的影响。但是这种经典分析方法也存在局限性,首先,它虽然可以控制若干个因素的作用,但无法描述其作用大小及方向,更不能考察各因素间是否存在交互任用;其次,该方法对样本含量的要求较大,当控制的分层因素较多时,单元格被划分的越来越细,列联表的格子中频数可能很小甚至为0,将导致检验结果的不可靠。最后,检验无法对连续性自变量的影响进行分析,而这将大大限制其应用范围,无疑是其致使的缺陷。
那么,能否建立类似于线性回归的模型,对这种数据加以分析?以最简单的二分类因变量为例来加以探讨,为了讨论方便,常定义出现阳性结果时反应变量取值为1,反之则取值为0 。例如当领导层有女性职员、下雨、痊愈时反应变量,而没有女性职员、未下雨、未痊愈时反应变量。记出现阳性结果的频率为反应变量。
首先,回顾一下标准的线性回归模型:
如果对分类变量直接拟合,则实质上拟合的是发生概率,参照前面线性回归方程,很自然地会想到是否可以建立下面形式的回归模型:
显然,该模型可以描述当各自变量变化时,因变量的发生概率会怎样变化,可以满足分析的基本要求。实际上,统计学家们最早也在朝这一方向努力,并考虑到最小二乘法拟合时遇到的各种问题,对计算方法进行了改进,最终提出了加权最小二乘法来对该模型进行拟合,至今这种分析思路还偶有应用。
既然可以使用加权最小二乘法对模型加以估计,为什么现在又放弃了这种做法呢?原因在于有以下两个问题是这种分析思路所无法解决的:
(1)取值区间:上述模型右侧的取值范围,或者说应用上述模型进行预报的范围为整个实数集,而模型的左边的取值范围为,二者并不相符。模型本身不能保证在自变量的各种组合下,因变量的估计值仍限制在
0~1内,因此可能分析者会得到这种荒唐的结论:男性、30岁、病情较轻的患者被治愈的概率是300%!研究者当然可以将此结果等价于100%可以治愈,但是从数理统计的角度讲,这种模型显然是极不严谨的。
(2)曲线关联:根据大量的观察,反应变量P与自变量的关系通常不是直线关系,而是S型曲线关系。这里以收入水平和购车概率的关系来加以说明,当收入非常低时,收入的增加对购买概率影响很小;但是在收入达到某一阈值时,购买概率会随着收入的增加而迅速增加;在购买概率达到一定水平,绝大部分在该收入水平的人都会购车时,收入增加的影响又会逐渐减弱。如果用图形来表示,则如图1所示。显然,线性关联是线性回归中至关重要的一个前提假设,而在上述模型中这一假设是明显无法满足的。
图1 S型曲线图
以上问题促使统计学家们不得不寻求新的解决思路,如同在曲线回归中,往往采用变量变换,使得曲线直线化,然后再进行直线回归方程的拟合。那么,能否考虑对所预测的因变量加以变换,以使得以上矛盾得以解决?基于这一思想,又有一大批统计学家在寻找合适的变换函数。终于,在1970年,Cox引入了以前用于人口学领域的Logit变换(Logit Transformation),成功地解决了上述问题。
那么,什么是Logit变换呢?通常的把出现某种结果的概率与不出现的概率之比称为比值(odds,国内也译为优势、比数),即,取其对数。这就是logit变换。下面来看一下该变换是如何解决上述两个问题的,首先是因变量取值区间的变化,,分布在0~1的范围内的,而相应的logit(P)的大小为:
∞

∞
显然,通过变换,Logit()的取值范围就被扩展为以0为对称点的整个实数域,这使得在任何自变量取值下,对值的预测均有实际意义。其次,大量实践证明,Logit()往往和自变量呈线性关系,换言之,概率和自变量间关系的S形曲线往往就符合logit函数关系,从而可以通过该变换将曲线直线化。因此,只需要以Logit()为因变量,建立包含p个自变量的logistic回归模型如下:
以上即为logistic回归模型。由上式可推得:

上面三个方程式相互等价。通过大量的分析