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安徽师范大学数学计算机科学学院
丁新涛
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(分类)
已知有多少类,并且在训练样本的前提下,利用训练样本得到判别函数,对待测样本进行分类;
判别问题,就是将p维欧几里得空间Rp划分成k个互不相交的区域R1,R2,…,Rk。
若x∈Ri,i=1,2,…,k,则判定x属于总体Xi,i=1,2,…,k.
Mahalanobis距离的概念:
,y是从均值为μ,协方差矩阵为Σ的总体X中抽取的两个样本,则总体X内两点x,y的Mahalanobis距离定义为
样本x与总体X的Mahalanobis距离为:
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例如:
=
从欧氏距离看A到μ1的距离比到μ2的距离要近,但从概率分布的角度看,
,说明A到μ2的距离比到μ1的距离要近.
标准化
Mahalanobis距离符合概率分布内涵.
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.
总体X1,X2的均值向量分别为μ1,μ2,协方差分别为Σ1,Σ2,给定样本x,判断x来自哪一个总体.
≠μ2,Σ1=Σ2
判断准则:
判断准则:
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总体的均值与协方差未知时:
设是来自总体X1的n1个样本,是来自总体X2的n2个样本,则样本的均值与协方差阵为
判断准则:
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≠μ2,Σ1≠Σ2
判断函数:
总体的均值与协方差未知时:
总体的均值与协方差已知时:
MahalanobisDistance
ReturnsthesquaredMahalanobisdistanceofallrowsinxandthevectormu=centerwithrespecttoSigma=(forvectorx)definedasD^2=(x-μ)'Σ^-1(x-μ)
Usage:mahalanobis(x,center,cov,inverted=FALSE,...)
X:vectorormatrixofdatawith,say,pcolumns.
Center:meanvectorofthedistributionorseconddatavectoroflengthp.
Cov:covariancematrix(pxp)ofthedistribution.
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R程序
<-function(TrnX1,TrnX2,TstX=NULL,=FALSE)
{if((TstX)==TRUE)TstX<-rbind(TrnX1,TrnX2)
if((TstX)==TRUE)TstX<-t((TstX))
elseif((TstX)!=TRUE)
TstX<-(TstX)
if((TrnX1)!=TRUE)TrnX1<-(TrnX1)
if((TrnX2)!=TRUE)TrnX2<-(TrnX2)
nx<-nrow(TstX)#测定待测样本的个数
blong<-matrix(rep(0,nx),nrow=1,byrow=TRUE,dimnames=list(“blong”,1:nx))#产生一个行矩阵,共nx个数
mu1<-colMeans(TrnX1);mu2<-colMeans(TrnX2)
if(==TRUE||==T)
{S<-var(rbind(TrnX1,TrnX2))
w<-mahalanobis(TstX,mu2,S)-mahalanobis(TstX,mu1,S)}
else
{S1<-var(TrnX1);S2<-var(TrnX2)
w<-mahalanobis(TstX,mu2,S2)-mahalanobis(TstX,mu1,S1)}
for(iin1:nx)
{if(w[i]>0)blong[i]<-1
elseblong[i]<-2}
blong}
#X1,X2类的训练样本
#TstX=NULL待测样本
为2个训练样本之和
#数据全部转化成矩阵,
行表示样本个数,列表
示样本维数n
#根据第i个样本的wi值,返回样本类别结果
理论中的样本按列排列X=(X1,X2,…,Xn),每列是一个样本,n列表示n个样本,这里样本按行排X=(X1,X2,…,Xn)T
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,选了7个因子,今从已液化和未液化的地层中分别抽了12个和23个样本,数据列在表中,其中I类表示已液化类,II类表示未液化类。试建立距离判别的判别准则,并按判别准则对原35个样本进行回代(即按判别准则进行分类),分析误判情况。
编号
类别
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
1
I
39
1
6
6
20
2
I
39
1
6
12
20
3
I
47
1
6
6
12
4
I
47
1
6
12
12
5
I
32
2
19
75
6
I
6
1
7
28
30
7
I
113
6
18
75
8
I
52
1
6
12
40
9
I
52
6
40
10
I
113
0
35
180
11
I
172
1
14
45
12
I
172
3
15
45
13
II
32
1
5
4
75
14
II
32
2
9
10
75
15
II
32
4
10
75
16
II
11
3
15
17
II
7
8
9
30
18
II
7
8
6
4
30
19
II
7
8
6
1
30
20
II
161
4
4
70
21
II
161
1
70
22
II
6
4
12
30
23
II
6
1
3
3
30
24
II
6
1
6
5
30
25
II
6
3
7
18
26
II
113
6
75
27
II
113
8
75
28
II
52
1
6
6
40
29
II
52
1
8
40
30
II
97
0
6
5
180
31
II
97
6
5
180
32
II
89
0
6
10
180
33
II
56
6
13
180
34
II
172
1
6
45
35
II
283
1
6
45
#R里的数据就是这样排,样本均值是对每个指标按列求均值,然后组成样本均值
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R实现:
classx1=('')
classx2=('')
(classx1,classx2,=T)
12345678910111213141516171819202**********
11111111211122222222222222
272829303132333435
blong211222222
blong
#在认为两个总体协方差相同的情况下,有3个点判错
(classx1,classx2)
12345678910111213141516171819202**********
11111111211122222222222222
272829303132333435
blong222222222
blong
#在认为两个总体协方差不同的情况下,有1个点判错
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μ1≠μ2…≠μk,Σ1=Σ2…=Σk
相应的判别准则:
<-function
(TrnX,TrnG,TstX=NULL,=FALSE)
{if((TrnG)==FALSE){
mx<-nrow(TrnX);mg<-nrow(TrnG)TrnX<-rbind(TrnX,TrnG)
TrnG<-factor(rep(1:2,c(mx,mg)))}
if((TstX)==TRUE)TstX<-TrnX#如果待测样本为空,则将训练样本视为待测样本
if((TstX)==TRUE)TstX<-t((TstX))
elseif((TstX)!=TRUE)#待测样本是多样本,但不是矩阵形式时
TstX<-(TstX)#转成矩阵()
if((TrnX)!=TRUE)TrnX<-(TrnX)nx<-nrow(TstX)blong<-matrix(rep(0,nx),nrow=1,dimnames=list(“blong”,1:nx))
#本页语句都是准备工作
#如果TrnG从主函数未接收到因子数据
#待测样本TstX是单样本时候,是向量vector,此时将其转为矩阵(是列矩阵),
然后再转成行矩阵
#则是2分类问题,而非多分类,可省略
#行名称为”blong”,列名称为数字1到nx
#产生类别矩阵blong,初始值全为0
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