文档介绍：第三章:连续时间线性定常系统时域分析
§ 系统的数学模型
LTI系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化,可以由下列四种模型描述。
R、L、C上的电压与电流关系——关系模型
电阻:
(3-1)
或
(3-2)
图3-1 电阻
图3-2 电压作用于电阻产生电流图3-3 电流作用于电阻产生电压
电感:
(3-3)
或:
(3-4)
图3-4 电感上的直流不产生电压
图3-5 电流作用于电感产生电压图3-6 电压作用于电感产生电流
电容:
(3-5)
或:
(3-6)
图3-7 电容上的恒压不产生电流
图3-8 电压作用于电容产生电流图3-9 电流作用于电容产生电压
求和(相加):
(3-7)
图3-10 信号汇聚流图
分支:
(3-8)
图3-11 信号分支流图
须注意,信息可以拷贝,可以无限复制;而物质则只能被瓜分式共享。
LTI连续时间系统的状态空间模型:
例1:如图3-12电路
求:(1),(2)
解:列回路电流、电压方程:
消去i1、i2、i3,得下列方程:
图3-12 例1电路图
定义(状态):能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。
物理上,状态的维数dimX(t) = 系统中独立储能元件的个数
状态的选取可以不唯一
状态空间模型:
(3-9)
(3-10)
其中,V(t) = ,为输入向量(r维)
X(t) = ,为状态向量(n维)
Y(t) = ,为输出向量(m维)
(t) =
图3-13 系统的状态空间模型
方程的解为:
(3-11)
(3-12)
若V(t)、X(0)已知,则X(t)、Y(t)可确定。
注:(3-11)的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应;
(3-12)的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。
LTI系统的微分方程模型:
具有n个独立储能元件的单输入单输出(SISO)系统,输出输入关系为:
已知输入V(t)、输出初值,求y (t) = ?
求解步骤:
(1)求齐次解:由微分方程列特征方程,求出n个特征根,则齐次解为,有n个待定系数;对于k重根,其所对应的齐次解为
(2)求特解,根据输入信号形式确定;其中待定系数可将特解带入原微分方程通过同类函数对应系数相等来求得。
表3-1
激励e(t)
响应r(t) 的特解形式
E(常数)
注:①表中B、D为待定系数;
②若e(t)由多种信号线性叠加而成,则特解也为相应的叠加;
③若表中的特解与齐次解相同,用乘以表中特解作为特解。例如,,而特征根也是,即齐次解为,则特解为;若是k重根,则特解为。
(3)全解=齐次解+特解,代入n个边界条件,求出第(1)步里的n个待定系数。这里所谓的边界条件视具体问题而定,见下节“初始条件”的讨论。
LTI系统的系统算子模型:
令:,则微分方程模型化为算子模型:
令:
有:
有:
(3-13)
其中, 称为系统算子,它对信号的作用不是相乘的关系。
注意三点:
与的公因式一般不可相消
例如:。
与的顺序不可交换
例如:,而
不同的物理系统,输入-输出方程可能相同,但含义不同
对因式分解,基本单元为。对输入作用产生输出,即,齐次解;对于输入,其特解为,单位冲激响应为,则。综上有:
(3-14)
由(3-14)式可进一步推得下面的(3-19)式。
§ LTI系统的响应
LTI系统的微分方程:
先来关注几个重要概念:
起始状态(状态):,简记为Y(0-)
初始状态(状态):,简记为Y(0+),亦称为初始条件
一般地,Y(0-)≠Y(0+),这是因为有了输入的激励作用。
零输入(zero input)响应:无外加激励信号的作用,即≡0,由起始状态Y(0-)≠0所产生的响应;此时,Y(0+)=Y(0-)。
零状态(zero state)响应:起始时刻系统储能为0,即Y(0-)≡0,由系统的外加激励信号
所产生的响应;此时,系统储能将发生变化,可能瞬间发生跳变,即Y(0+)¹ Y(0-)=0。
下面讨论系统在的输出,表示所求的响应从0+开始。
零输入响应:
,Y (0-)≠0
(3-15)
特征方程:
(3-16)
特征根:
(3-17)
在无重根的情况下:
(3-18)
有k重根a1时,对应这个重根的解有k项,。
其中由初始条件Y(0+)=Y(0-)≠0代入求得。
注意:无外界输入,仅靠初始储能不为零而产生的输出必然随着时光的流逝而衰减到零!只是衰减的快慢不同而已。那么衰减的快慢取决于什么呢?请读者思考它取决于什么因素,我们将在系统的“模态分析”章节里作深入讨论