文档介绍：振型叠加法
摘要:通过收集有关振型叠加法的资料,对振型叠加法基本原理、应用范围进行介绍,并通过该方法与其他方法的比较总结其优缺点。对模态截断的概念及其具体方法进行阐述,理解模态截断在振型叠加法的应用中的重要性。并对振型叠加法在工程中的应用进行初步分析。
关键词:振型叠加法模态截断固有特性
随着科学技术的发展,对机械结构的性能要求越来越严格,结构的强度设计问题也随之深入。在实际工程中,机械结构由于受到动态激励的作用而引起破坏,基于静强度的结构设计准则已不能满足使用要求,使得结构动力学问题更加突出。
目前,结构动态响应的求解方法有很多种,一般可分为直接积分法和间接积分法,但这些方法都有一定的适用范围和局限性。随着计算机和有限元技术的迅速发展,使得很多大型复杂结构在任意激励下的动态响应也可以进行分析。但是考虑到计算机技术的限制和结构的复杂性,在解决具体问题时,选取合适的方法对结构动态响应进行求解尤其重要。主要对求解结构动响应的几种方法进行分析,并比较各自的优缺点和适用范围。
在结构动响应的分析中,通常是把结构离散为线性或非线性多自由度系统,然后通过求解多自由度系统得到结构在任意激励下的动态响应。
多自由度系统的振动微分方程如下:
(1)
式中:[M]—结构质量矩阵;[C]—结构阻尼矩阵;[K]—结构刚度矩阵;{u}和{F}—离散结构各节点的加速度向量、速度向量、位移向量和外加载荷向量。
在外部激励的作用下,系统会呈现一定的振动响应,从数学观点来看,分析结构动响应就是求解多自由度系统的微分方程。
基于有限元技术的动响应求解方法
在实际结构动响应的分析中,离散结构的自由度很多,运算量很大,求解占用很多计算机资源。采用实用有效的求解方法,能够尽量缩短计算时间,提高计算精度。
直接积分法求解结构动态响应
直接积分法又称逐步积分法,其基本原理是:在时间域内对响应的时间历程进行离散,把运动微分方程分为各离散时刻的方程,设定某个时刻的位移、速度和加速度的近似表达式,并把表达式代入系统运动方程,对耦合的系统运动微分方程进行逐步积分求解,即由前一个或几个时间离散点上的位移、速度和加速度推出下一个时间点上的位移、速度和加速度,从而求出在一系列离散时刻上的响应值。
目前对于求解多自由度系统的直接积分法有很多,如中心差分法、威尔逊法-θ,纽马克法等等。近年来有不少学者提出很多新的或改进型方法,以提高计算效率和计算精度。直接积分法的计算精度较高,对质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和载荷没有特别的要求,可以处理多种线性和非线性系统,但计算时间较长。
缩聚法求解结构动态响应
对复杂结构进行动响应分析时,离散结构的自由度数目多,运算量很大。在保证计算精度的条件下,利用缩减技术对模型进行缩聚成为一种合适的方法。所谓模型缩聚。就是引入适当的变换,消去对整体结构动力影响效果不大的自由度,从而达到降低自由度的目的。
缩聚法的原理是,构造一个变换矩阵T∈(r<n),将物理位移向量u 表示为u=Tq,其中q∈为广义位移向量。将变换关系代入方程(1),并左乘T 的转置,得到缩聚后模型的运动方程
(2)
式中:—缩减后的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵及载荷向量。
缩聚法求解系统的动响应时,总自由度一般被划分两部分,主自由度(以m 表示)和从自由度(以s 表示),基于该划分,物理位移矢量{u},可以有{}构成的广义坐标表示如下式:
(3)
由式(2)可以得到缩聚自由度的位移响应,再利用式(3)进行变换得到离散模型全部自由度响应。
缩聚法在求解动响应时,需要选择合适的主自由度。缩聚法虽然是一种近似解法,但在求解复杂,自由度大的结构动响应时不失为一种有效的方法。
振型叠加法求解结构动态响应
振型叠加法是一种利用固有频率和振型来计算结构动响应的方法。其基本原理是:对结构自由振动进行模态分析,得到结构的固有频率和固有振型,利用固有振型组成的模态矩阵[]对式(1)进行解耦,将结构的动力学方程转化为各主坐标的非耦合方程。
进行坐标变换
(4)
把上式代入运动方程(1)得到:
(5)
上式两边前乘得
(6)
对(6)进行求解,求出各主坐标的响应,最后利用物理坐标和主坐标的关系,得到物理坐标下的响应。模态叠加法计算结构动态响应时,需要提取出可能对动力学响应有贡献的所有模态,否则会由于缺失模态而造成较大误差。
简谐激励求解结构动态响应
在许多实际问题中,结构承受一种非简谐的周期激励作用,一般来说,任何周期函数都可以用简谐的收敛级数来表示,利用叠加原理,周期激励的响应等于各简谐分量引起响应的总和。
周期激励函数满足: